Resolva (e^(2y) - y cos(xy)) dx + (2x e^(2y) - x cos(xy) + 2y) dy = 0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
e
A tarefa é encontrar a solução geral (uma relação entre
e
que satisfaça a equação), em forma implícita ou explícita.
Passo 2
Escolha do método: vou tentar verificar se a equação é exata. Por quê? Porque a equação está escrita no formato
, e um método direto e simples é procurar uma função potencial
tal que
e
. Se for exata, obtemos
como solução. Esse é um método básico e geralmente mais rápido do que procurar fatores integrantes quando a equação já é exata ou quase exata.
Passo 3
Teste de exatidão: calcular as derivadas parciais
e
e verificar se são iguais.
Calculo de
:
A derivada de
em relação a
é
. Agora derive
em relação a
. Use a regra do produto: se
e
(com
tratado como constante), então
E
(regra da cadeia). Assim
Portanto
Calculo de
:
Derive termo a termo em relação a
. Para
,
é constante em
, então a derivada é
. Para
use produto:
,
. Então
E
. Assim
O termo
é constante em
e tem derivada zero. Portanto
Como
, a equação é exata. Boa notícia: podemos encontrar
tal que
e
.
Passo 4
Construção da função potencial
. Começamos integrando
em relação a
:
Integre em
tratando
como constante:
O termo
é simples:
é constante em
, então
.
Para
: aqui
é constante ao integrar em
. Note que a derivada de
em relação a
é
. Logo
Assim, a integral total é
onde
é uma função “constante” em relação a
(pode depender de
).
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Calcule
a partir de
.
Derivando em
:
-
(pois é constante em relação a ); -
(regra da cadeia); -
.
Logo
Mas sabemos que
deve ser igual a
, que é
Comparando os dois, vemos que
Passo 6
Integre
em relação a
:
onde
é constante. Podemos incluir
posteriormente no lado direito da solução implícita como a constante geral
.
Portanto a função potencial completa é
Passo 7
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
constante. Assim a família de curvas solução é
onde
é constante real. Podemos (se quisermos) verificar diferenciando essa expressão total e checando que retorna à equação original — isso fecha a verificação.