Resolva (e^(2y) - y cos(xy)) dx + (2x e^(2y) - x cos(xy) + 2y) dy = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(e^{2y}-y\cos(xy)\bigr)\,dx+\bigl(2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y\bigr)\,dy=0.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
M(x,y)=e^{2y}-y\cos(xy)
e
N(x,y)=2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y.
A tarefa é encontrar a solução geral (uma relação entre x e y que satisfaça a equação), em forma implícita ou explícita.

Passo 2

Escolha do método: vou tentar verificar se a equação é exata. Por quê? Porque a equação está escrita no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, e um método direto e simples é procurar uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Se for exata, obtemos \Phi(x,y)=C como solução. Esse é um método básico e geralmente mais rápido do que procurar fatores integrantes quando a equação já é exata ou quase exata.

Passo 3

Teste de exatidão: calcular as derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x e verificar se são iguais.
Calculo de \partial M/\partial y:
M(x,y)=e^{2y}-y\cos(xy).
A derivada de e^{2y} em relação a y é 2e^{2y}. Agora derive y\cos(xy) em relação a y. Use a regra do produto: se u(y)=y e v(y)=\cos(xy) (com x tratado como constante), então
\frac{d}{dy}[y\cos(xy)]=1\cdot\cos(xy)+y\cdot\frac{d}{dy}\cos(xy).
E \frac{d}{dy}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot x (regra da cadeia). Assim
\frac{d}{dy}[y\cos(xy)]=\cos(xy)-x y\sin(xy).
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=2e^{2y}-\cos(xy)+x y\sin(xy).
Calculo de \partial N/\partial x:
N(x,y)=2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y.
Derive termo a termo em relação a x. Para 2x e^{2y}, e^{2y} é constante em x, então a derivada é 2e^{2y}. Para -x\cos(xy) use produto: u(x)=-x, v(x)=\cos(xy). Então
\frac{d}{dx}[-x\cos(xy)]=-1\cdot\cos(xy)+(-x)\cdot\frac{d}{dx}\cos(xy).
E \frac{d}{dx}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot y. Assim
\frac{d}{dx}[-x\cos(xy)]=-\cos(xy)+x y\sin(xy).
O termo 2y é constante em x e tem derivada zero. Portanto
\frac{\partial N}{\partial x}=2e^{2y}-\cos(xy)+x y\sin(xy).
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata. Boa notícia: podemos encontrar \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Construção da função potencial \Phi(x,y). Começamos integrando \Phi_x=M em relação a x:
\Phi_x=e^{2y}-y\cos(xy).
Integre em x tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\bigl(e^{2y}-y\cos(xy)\bigr)\,dx.
O termo \int e^{2y}\,dx é simples: e^{2y} é constante em x, então \int e^{2y}\,dx = x e^{2y}.
Para \int y\cos(xy)\,dx: aqui y é constante ao integrar em x. Note que a derivada de \sin(xy) em relação a x é y\cos(xy). Logo
\int y\cos(xy)\,dx=\sin(xy).
Assim, a integral total é
\Phi(x,y)=x e^{2y}-\sin(xy)+h(y),
onde h(y) é uma função “constante” em relação a x (pode depender de y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \Phi_y=N. Calcule \Phi_y a partir de \Phi(x,y)=x e^{2y}-\sin(xy)+h(y).
Derivando em y:
  • \partial/\partial y [x e^{2y}] = 2x e^{2y} (pois x é constante em relação a y);
  • \partial/\partial y [-\sin(xy)] = -\cos(xy)\cdot x (regra da cadeia);
  • \partial/\partial y [h(y)] = h'(y).
Logo
\Phi_y=2x e^{2y}-x\cos(xy)+h'(y).
Mas sabemos que \Phi_y deve ser igual a N(x,y), que é
N(x,y)=2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y.
Comparando os dois, vemos que
h'(y)=2y.

Passo 6

Integre h'(y)=2y em relação a y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_0,
onde C_0 é constante. Podemos incluir C_0 posteriormente no lado direito da solução implícita como a constante geral C.
Portanto a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x e^{2y}-\sin(xy)+y^2.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)= constante. Assim a família de curvas solução é
x e^{2y}-\sin(xy)+y^2=C,
onde C é constante real. Podemos (se quisermos) verificar diferenciando essa expressão total e checando que retorna à equação original — isso fecha a verificação.

Resposta

x e^{2y}-\sin(xy)+y^{2}=C

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