Resolva dy/dx + y = f(x), y(0) = 0 onde f(x) = { 1, 0 <= x <= 1; 0, x > 1 }.
Passo 1
O problema pede resolver a equação diferencial com condição inicial
onde a função forçante é dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
Portanto teremos que construir a solução em partes: uma expressão válida para
e outra para
, e usar a condição em
e o emparelhamento em
.]
Passo 2
Escolha do método e lembrete teórico (mini-aula):
Para equações da forma
Para equações da forma
usamos o fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos que o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados e isolando
dá a solução geral:
onde
é constante. Aqui
na nossa equação, então
Como
é por partes, aplicamos esse procedimento separadamente em cada intervalo onde
é diferente e depois “casamos” as soluções nos pontos de quebra (a solução
deve ser contínua).
Passo 3
Resolver em
(onde
):
A equação é
A equação é
Usando
, multiplicamos:
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante (aqui constante válida no intervalo). Isolando
:
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante em
:
Substituindo em
:
Substituindo
Como
, obtemos
Portanto, para
a solução é
Observação: essa expressão satisfaz
e resolve a EDO nesse intervalo.
Passo 5
Resolver em
(onde
):
A equação torna-se homogênea:
A equação torna-se homogênea:
Isso é separável ou reconhecível como homogênea com solução exponencial. A solução geral é
onde
é constante válida para o intervalo
.
Passo 6
Determinar
usando continuidade em
:
Como a EDO é do tipo que garante existência única e tem apenas uma descontinuidade de valor finito em
, a solução
deve ser contínua em
. Assim igualamos o limite pela esquerda (usando a solução do Passo 4) e o valor pela direita (usando a solução do Passo 5) em
.
Como a EDO é do tipo que garante existência única e
Valor pela esquerda em
:
Valor pela direita em
:
Igualando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto, para
temos
Passo 7
Resumo e checagem rápida:
- Para
: . Em dá , ok. - Para
: . Em dá , que coincide com o valor pelo lado esquerdo, logo continuidade garantida.
Você também pode notar que para grandesa solução tende a zero porque o termo exponencial decai, coerente com o fato de que para não há forçamento.