Resolva dy/dx + y = f(x), y(0) = 0 onde f(x) = { 1, 0 <= x <= 1; 0, x > 1 }.

Passo 1

O problema pede resolver a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dx}+y=f(x),\qquad y(0)=0,
onde a função forçante é dada por
f(x)=\begin{cases} 1, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 0, & x>1. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{(i)}\\ \text{A EDO é de primeira ordem linear não-homogênea: }\frac{dy}{dx}+y=f(x).éãê
\text{(ii)}\\ \text{Há condição inicial }y(0)=0.áçã
\text{(iii)}\\ f(x)\\ \text{é uma função por partes, diferente em }[0,1]\text{ e em }(1,\infty).éçã
Portanto teremos que construir a solução em partes: uma expressão válida para 0\le x\le 1 e outra para x>1, e usar a condição em x=0 e o emparelhamento em x=1.]

Passo 2

Escolha do método e lembrete teórico (mini-aula):
Para equações da forma
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
usamos o fator integrante. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos que o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)q(x).
Integrando ambos os lados e isolando y dá a solução geral:
y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\right),
onde C é constante. Aqui p(x)=1 na nossa equação, então
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Como f(x) é por partes, aplicamos esse procedimento separadamente em cada intervalo onde f é diferente e depois “casamos” as soluções nos pontos de quebra (a solução y deve ser contínua).

Passo 3

Resolver em 0\le x\le 1 (onde f(x)=1):
A equação é
\frac{dy}{dx}+y=1.
Usando \mu(x)=e^{x}, multiplicamos:
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y=\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\cdot 1=e^{x}.
Integramos ambos os lados em x:
e^{x}y=\int e^{x}\,dx + C = e^{x}+C,
onde C é constante (aqui constante válida no intervalo). Isolando y:
y= e^{-x}\big(e^{x}+C\big)=1+C e^{-x}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(0)=0 para determinar a constante em [0,1]:
Substituindo x=0 em y=1+C e^{-x}:
y(0)=1+C e^{0}=1+C.
Como y(0)=0, obtemos
0=1+C \quad\Rightarrow\quad C=-1.
Portanto, para 0\le x\le 1 a solução é
y(x)=1-e^{-x}.
Observação: essa expressão satisfaz y(0)=0 e resolve a EDO nesse intervalo.

Passo 5

Resolver em x>1 (onde f(x)=0):
A equação torna-se homogênea:
\frac{dy}{dx}+y=0.
Isso é separável ou reconhecível como homogênea com solução exponencial. A solução geral é
y(x)=A e^{-x},
onde A é constante válida para o intervalo x>1.

Passo 6

Determinar A usando continuidade em x=1:
Como a EDO é do tipo que garante existência única e f tem apenas uma descontinuidade de valor finito em x=1, a solução y deve ser contínua em x=1. Assim igualamos o limite pela esquerda (usando a solução do Passo 4) e o valor pela direita (usando a solução do Passo 5) em x=1.
Valor pela esquerda em x=1:
y(1^-)=1-e^{-1}.
Valor pela direita em x=1:
y(1^+)=A e^{-1}.
Igualando:
A e^{-1}=1-e^{-1}.
Multiplicando ambos os lados por e:
A = e(1-e^{-1}) = e-1.
Portanto, para x>1 temos
y(x)=(e-1)e^{-x}.

Passo 7

Resumo e checagem rápida:
  • Para 0\le x\le 1: y(x)=1-e^{-x}. Em x=0 y(0)=1-e^{0}=0, ok.
  • Para x>1: y(x)=(e-1)e^{-x}. Em x=1 y(1)=(e-1)e^{-1}=1-e^{-1}, que coincide com o valor pelo lado esquerdo, logo continuidade garantida.
    Você também pode notar que para grandes x a solução tende a zero porque o termo exponencial decai, coerente com o fato de que para x>1 não há forçamento.

Resposta

y(x)=1-e^{-x},\quad 0\le x\le 1\n y(x)=(e-1)e^{-x},\quad x>1

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