Resolva a ED x dx + (x^2 y + 4y) dy = 0, y(4) = 0.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial
com condição inicial
.
Pergunta: encontrar a solução que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pergunta: encontrar a solução
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser escrita como
. - A condição inicial é
.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata ou se admite separação de variáveis (duas técnicas comuns). Primeiro escrevo no formato
:
Calculo as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
em geral, a equação não é exata. Agora tento separar as variáveis: a equação escrita como
pode ser reorganizada para isolar termos em
e termos em
.
Passo 3
Separei as variáveis. Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero) e por
(para obter fatores separados em
e
), obtenho:
Isto mostra que a equação é separável: do lado esquerdo há apenas
e
, do lado direito apenas
e
. A técnica agora é integrar ambos os lados.
Passo 4
Integro ambos os lados. À esquerda preciso calcular
. Faço a substituição clássica para este tipo de integral: seja
, então
, logo
. Assim
Do lado direito,
Colocando as duas integrais em igualdade (e combinando constantes de integração) obtenho a solução implícita:
Passo 5
Multiplico a igualdade por
para simplificar a aparência:
onde
é uma constante arbitrária. Reorganizando para isolar
,
Esta é a forma implícita da solução; agora uso a condição inicial
para determinar
. Substituo
e
:
Passo 6
Substituindo
na expressão para
, obtenho
Tomando a raiz quadrada,
Agora é importante comentar sobre domínio e unicidade:
- Para a raiz estar bem definida (parte dentro do log não negativa), precisamos de
ou seja
, portanto
. Assim a solução real existe para
.
- Sobre o sinal
: a condição inicial dá para ambas as escolhas (pois a raiz em é zero), logo a condición inicial não determina o sinal. Observação teórica: ao escrever a ODE na forma , a função do lado direito tem singularidade quando , por isso o teorema de unicidade não garante solução única passando por um ponto onde . Portanto tanto a escolha com sinal quanto com sinal (na vizinhança onde a expressão dentro da raiz é positiva) forneem soluções que satisfazem a condição inicial.
Resposta
Domínio: