Resolva a ED x dx + (x^2 y + 4y) dy = 0, y(4) = 0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial
x\,dx + (x^{2}y + 4y)\,dy = 0,
com condição inicial y(4)=0.
Pergunta: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita como x\,dx + y(x^{2}+4)\,dy=0.
  • A condição inicial é y(4)=0.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata ou se admite separação de variáveis (duas técnicas comuns). Primeiro escrevo no formato M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0:
M(x,y)=x,\qquad N(x,y)=x^{2}y+4y=y(x^{2}+4).
Calculo as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2xy.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} em geral, a equação não é exata. Agora tento separar as variáveis: a equação escrita como
x\,dx + y(x^{2}+4)\,dy=0
pode ser reorganizada para isolar termos em x e termos em y.

Passo 3

Separei as variáveis. Dividindo ambos os lados por x^{2}+4 (que nunca é zero) e por y (para obter fatores separados em x e y), obtenho:
\frac{x}{x^{2}+4}\,dx = -y\,dy.
Isto mostra que a equação é separável: do lado esquerdo há apenas x e dx, do lado direito apenas y e dy. A técnica agora é integrar ambos os lados.

Passo 4

Integro ambos os lados. À esquerda preciso calcular \displaystyle\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx. Faço a substituição clássica para este tipo de integral: seja u=x^{2}+4, então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx = \int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)+C.
Do lado direito,
\int -y\,dy = -\frac{y^{2}}{2} + C.
Colocando as duas integrais em igualdade (e combinando constantes de integração) obtenho a solução implícita:
\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) = -\frac{y^{2}}{2} + C.

Passo 5

Multiplico a igualdade por 2 para simplificar a aparência:
\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) = -y^{2} + C',
onde C'=2C é uma constante arbitrária. Reorganizando para isolar y^{2},
y^{2} = C' - \ln\bigl(x^{2}+4\bigr).
Esta é a forma implícita da solução; agora uso a condição inicial y(4)=0 para determinar C'. Substituo x=4 e y=0:
0^{2} = C' - \ln\bigl(4^{2}+4\bigr) \quad\Rightarrow\quad C' = \ln(16+4)=\ln(20).

Passo 6

Substituindo C'=\ln(20) na expressão para y^{2}, obtenho
y^{2} = \ln(20) - \ln\bigl(x^{2}+4\bigr) = \ln\!\left(\frac{20}{x^{2}+4}\right).
Tomando a raiz quadrada,
y(x)=\pm\sqrt{\ln\!\left(\frac{20}{x^{2}+4}\right)}.
Agora é importante comentar sobre domínio e unicidade:
  • Para a raiz estar bem definida (parte dentro do log não negativa), precisamos de
\ln\!\left(\frac{20}{x^{2}+4}\right)\ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{20}{x^{2}+4}\ge 1 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}+4\le 20,
ou seja x^{2}\le 16, portanto |x|\le 4. Assim a solução real existe para |x|\le 4.
  • Sobre o sinal \pm: a condição inicial y(4)=0 y(4)=0 para ambas as escolhas (pois a raiz em x=4 é zero), logo a condición inicial não determina o sinal. Observação teórica: ao escrever a ODE na forma y'=-\dfrac{x}{y(x^{2}+4)}, a função do lado direito tem singularidade quando y=0, por isso o teorema de unicidade não garante solução única passando por um ponto onde y=0. Portanto tanto a escolha com sinal + quanto com sinal - (na vizinhança onde a expressão dentro da raiz é positiva) forneem soluções que satisfazem a condição inicial.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\ln\!\left(\dfrac{20}{x^{2}+4}\right)}\n
Domínio: |x|\le 4

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