Resolva dy/dx + y = x, y(0) = 4.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx} + y = x,\qquad y(0)=4.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas: a equação é de primeira ordem e linear, e temos o valor de y em x=0.

Passo 2

Vamos usar um método que transforma a equação num lado que seja a derivada de um produto, o chamado fator integrante. Considere a forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos, usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,y' + \mu(x)\,P(x)\,y,
ou seja, o lado esquerdo vira a derivada de \mu y, o que facilita integrar ambos os lados. (Explicação da ideia: escolhemos \mu justamente para que o termo multiplado por y coincida com a derivada de \mu.)

Passo 3

Na nossa equação P(x)=1 e Q(x)=x. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.
Multiplicando a equação original por e^{x} obtemos
e^{x}\frac{dy}{dx} + e^{x}y = x e^{x}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{x}y. Assim
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=x e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y = \int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular \int x e^{x}\,dx. Usamos integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral em e^{x}y temos
e^{x}y = e^{x}(x-1) + C.
Dividindo por e^{x} (que nunca é zero) encontramos a solução geral:
y(x) = x - 1 + C e^{-x},
onde C é uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=4. Substituindo x=0 em y(x):
y(0) = 0 - 1 + C e^{0} = -1 + C.
Como y(0)=4, temos -1 + C = 4, portanto
C = 5.

Passo 7

Substituindo C=5 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = x - 1 + 5 e^{-x}.

Passo 8

(verificação rápida) Diferenciando y temos y'(x)=1 - 5 e^{-x}. Somando y'+y:
y'(x)+y(x) = \big(1 - 5 e^{-x}\big) + \big(x - 1 + 5 e^{-x}\big) = x,
logo a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Resposta

y(x)=x-1+5e^{-x}

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