Resolva dy/dx + y = x, y(0) = 4.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas: a equação é de primeira ordem e linear, e temos o valor de
em
.
Passo 2
Vamos usar um método que transforma a equação num lado que seja a derivada de um produto, o chamado fator integrante. Considere a forma padrão
onde
e
são funções de
. O fator integrante
é definido por
Multiplicando a equação por
obtemos, usando a regra do produto,
ou seja, o lado esquerdo vira a derivada de
, o que facilita integrar ambos os lados. (Explicação da ideia: escolhemos
justamente para que o termo multiplado por
coincida com a derivada de
.)
Passo 3
Na nossa equação
e
. Calculamos o fator integrante:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
. Assim
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular
. Usamos integração por partes, cuja fórmula é
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral em
temos
Dividindo por
(que nunca é zero) encontramos a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Como
, temos
, portanto
Passo 7
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Passo 8
(verificação rápida) Diferenciando
temos
. Somando
:
logo a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.