Resolva os p.v.i.'s abaixo:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0, y(0)=-1 e y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
y''-4y'+13y=0,\qquad y(0)=-1,\qquad y'(0)=2.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e que atende às condições iniciais dadas.

Passo 2

Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx} na equação obtém-se a equação característica:
r^{2}-4r+13=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula das raízes de uma quadrática):
r=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot13}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}.
Como o discriminante é negativo, \sqrt{-36}=6i, então as raízes são
r=2\pm 3i.

Passo 3

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas r=a\pm bi, a forma geral das soluções reais é
y(x)=e^{ax}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui temos a=2 e b=3, portanto a solução geral é
y(x)=e^{2x}\big(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\big).
Explicação rápida do porquê: as soluções e^{(2+3i)x} e e^{(2-3i)x} têm partes real e imaginária que geram as duas combinações reais e^{2x}\cos(3x) e e^{2x}\sin(3x).

Passo 4

Precisamos das constantes C_{1},C_{2}. Primeiro calculamos y'(x). Usamos a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\cos(3x)=-3\sin(3x),\qquad \frac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x).
Derivando y(x):
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)\big(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\big)+e^{2x}\frac{d}{dx}\big(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\big).
Como \frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}, isso dá
y'(x)=2e^{2x}\big(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\big)+e^{2x}\big(-3C_{1}\sin(3x)+3C_{2}\cos(3x)\big).
Agrupando os termos em \cos(3x) e \sin(3x):
y'(x)=e^{2x}\Big[(2C_{1}+3C_{2})\cos(3x)+(2C_{2}-3C_{1})\sin(3x)\Big].

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais.
Avaliaremos em x=0. Primeiro y(0)=-1:
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Logo
C_{1}=-1.
Agora y'(0)=2. Evaluando y'(x) em x=0:
y'(0)=e^{0}\Big[(2C_{1}+3C_{2})\cos 0+(2C_{2}-3C_{1})\sin 0\Big]=2C_{1}+3C_{2}.
Então
2C_{1}+3C_{2}=2.
Substituindo C_{1}=-1:
2(-1)+3C_{2}=2\quad\Rightarrow\quad -2+3C_{2}=2\quad\Rightarrow\quad 3C_{2}=4.
Portanto
C_{2}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral:
y(x)=e^{2x}\left(-\cos(3x)+\frac{4}{3}\sin(3x)\right).
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

Resposta

y(x)=e^{2x}\left(-\cos(3x)+\frac{4}{3}\sin(3x)\right)

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