Resolva os p.v.i.'s abaixo:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0, y(0)=-1 e y^{\prime}(0)=2.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0, y(0)=-1 e y^{\prime}(0)=2.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e que atende às condições iniciais dadas.
Passo 2
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo
na equação obtém-se a equação característica:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula das raízes de uma quadrática):
Como o discriminante é negativo,
, então as raízes são
Passo 3
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a forma geral das soluções reais é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui temos
e
, portanto a solução geral é
Explicação rápida do porquê: as soluções
e
têm partes real e imaginária que geram as duas combinações reais
e
.
Passo 4
Precisamos das constantes
. Primeiro calculamos
. Usamos a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas:
Derivando
:
Como
, isso dá
Agrupando os termos em
e
:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais.
Avaliaremos em
. Primeiro
:
Logo
Agora
. Evaluando
em
:
Então
Substituindo
:
Portanto
Passo 6
Substituímos
e
na solução geral:
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.