Resolva os p.v.i.'s abaixo:
((x^{2} y^{\frac{5}{2}}+3 y) d x-x d y=0, y(1)=1).

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (p.v.i.)
(x^{2} y^{\frac{5}{2}}+3 y)\,dx - x\,dy = 0,\qquad y(1)=1.
Pergunta: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(1)=1.
Informações relevantes dadas:
M(x,y)=x^{2} y^{\frac{5}{2}}+3 y,\qquad N(x,y)=-x,
e a condição inicial \;y(1)=1.

Passo 2

Coloco a equação na forma explícita para dy/dx. A equação original é equivalente a
(x^{2} y^{\frac{5}{2}}+3 y)\,dx = x\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} y^{\frac{5}{2}}+3 y}{x}.
Simplificando,
\frac{dy}{dx} = x\,y^{\frac{5}{2}} + \frac{3}{x}\,y.
Reescrevo na forma padrão de Bernoulli:
\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}\,y = x\,y^{\frac{5}{2}}.
Isto é uma equação do tipo de Bernoulli \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^{n} com p(x)=-\dfrac{3}{x}, q(x)=x e n=\dfrac{5}{2}. Vou aplicar a transformação padrão para Bernoulli.

Passo 3

Para equações de Bernoulli usa-se a substituição
v = y^{1-n}.
Aqui n=\dfrac{5}{2}, então 1-n = -\dfrac{3}{2}. Logo escolho
v = y^{-\frac{3}{2}}.
Preciso relacionar dv/dx com dy/dx. Diferenciando v em relação a x,
\frac{dv}{dx} = -\frac{3}{2}\,y^{-\frac{5}{2}}\,\frac{dy}{dx}.
Isto permite eliminar \dfrac{dy}{dx} da equação original.

Passo 4

Substituo \dfrac{dy}{dx} da expressão obtida na equação de Bernoulli. Da relação acima isolamos
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}\,y^{\frac{5}{2}}\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em
\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x\,y^{\frac{5}{2}},
obtemos
-\frac{2}{3}\,y^{\frac{5}{2}}\,\frac{dv}{dx} - \frac{3}{x}\,y = x\,y^{\frac{5}{2}}.
Divido a equação inteira por y^{\frac{5}{2}} (assumindo y\neq0 na vizinhança considerada):
-\frac{2}{3}\,\frac{dv}{dx} - \frac{3}{x}\,y^{1-\frac{5}{2}} = x.
Como y^{1-\frac{5}{2}}=y^{-\frac{3}{2}}=v, a equação fica
-\frac{2}{3}\,\frac{dv}{dx} - \frac{3}{x}\,v = x.
Multiplico por -\dfrac{3}{2} para obter a forma linear padrão:
\frac{dv}{dx} + \frac{9}{2x}\,v = -\frac{3}{2}\,x.

Passo 5

Agora resolvo a equação linear para v(x):
\frac{dv}{dx} + \frac{9}{2x}\,v = -\frac{3}{2}\,x.
Calculo o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{9}{2x}\,dx\Big)=\exp\!\Big(\frac{9}{2}\ln|x|\Big)=|x|^{\frac{9}{2}}.
Para x perto de 1 podemos usar x^{9/2}. Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\big(v\,x^{\frac{9}{2}}\big) = -\frac{3}{2}\,x\cdot x^{\frac{9}{2}} = -\frac{3}{2}\,x^{\frac{11}{2}}.
Integro ambos os lados em x:
v\,x^{\frac{9}{2}} = \int -\frac{3}{2}\,x^{\frac{11}{2}}\,dx = -\frac{3}{2}\cdot \frac{x^{\frac{13}{2}}}{\frac{13}{2}} + C = -\frac{3}{13}\,x^{2} + C,
ou seja
v = -\frac{3}{13}\,x^{2} + C\,x^{-\frac{9}{2}}.

Passo 6

Volto à variável y usando v=y^{-\frac{3}{2}}. Assim
y^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{13}\,x^{2} + C\,x^{-\frac{9}{2}}.
Isolo y elevando ambos os lados à potência -\dfrac{2}{3}:
y(x) = \Big(-\frac{3}{13}\,x^{2} + C\,x^{-\frac{9}{2}}\Big)^{-\frac{2}{3}}.
Essa é a solução geral implícita explicita em y (com constante C).

Passo 7

Aplico a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Com x=1 e y(1)=1,
1^{-{\frac{3}{2}}}=1 = -\frac{3}{13}\cdot 1^{2} + C\cdot 1^{-\frac{9}{2}} = -\frac{3}{13} + C.
Logo
C = 1 + \frac{3}{13} = \frac{16}{13}.
Substituo C na expressão de y(x):
y(x) = \Big(-\frac{3}{13}\,x^{2} + \frac{16}{13}\,x^{-\frac{9}{2}}\Big)^{-\frac{2}{3}}.

Resposta

y(x)=\left(-\frac{3}{13}\,x^{2}+\frac{16}{13}\,x^{-\frac{9}{2}}\right)^{-\frac{2}{3}}

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