Resolva os p.v.i.'s abaixo:
((x^{2} y^{\frac{5}{2}}+3 y) d x-x d y=0, y(1)=1).
((x^{2} y^{\frac{5}{2}}+3 y) d x-x d y=0, y(1)=1).
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (p.v.i.)
Pergunta: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
.
Informações relevantes dadas:
e a condição inicial
.
Passo 2
Coloco a equação na forma explícita para
. A equação original é equivalente a
Simplificando,
Reescrevo na forma padrão de Bernoulli:
Isto é uma equação do tipo de Bernoulli
com
,
e
. Vou aplicar a transformação padrão para Bernoulli.
Passo 3
Para equações de Bernoulli usa-se a substituição
Aqui
, então
. Logo escolho
Preciso relacionar
com
. Diferenciando
em relação a
,
Isto permite eliminar
da equação original.
Passo 4
Substituo
da expressão obtida na equação de Bernoulli. Da relação acima isolamos
Substituindo em
obtemos
Divido a equação inteira por
(assumindo
na vizinhança considerada):
Como
, a equação fica
Multiplico por
para obter a forma linear padrão:
Passo 5
Agora resolvo a equação linear para
:
Calculo o fator integrante
Para
perto de
podemos usar
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integro ambos os lados em
:
ou seja
Passo 6
Volto à variável
usando
. Assim
Isolo
elevando ambos os lados à potência
:
Essa é a solução geral implícita explicita em
(com constante
).
Passo 7
Aplico a condição inicial
para determinar
. Com
e
,
Logo
Substituo
na expressão de
: