Resolva os p.v.i.'s abaixo:
((3 x{2}-e{x}) d x+(5-2 y) d y=0, y(0)=1).
((3 x{2}-e{x}) d x+(5-2 y) d y=0, y(0)=1).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
(coeficiente de
),
(coeficiente de
), e a condição inicial
.
O que se quer: encontrar a função que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial.
O que se quer: encontrar a função
Passo 2
Vamos testar se a equação é exata. Definição (explicando devagar): uma equação na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Um teste prático é comparar as derivadas parciais cruzadas:
e
. Se forem iguais num domínio, a equação é exata.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Ótimo — isso significa que existe
tal que
Passo 4
Para encontrar
integramos
em relação a
, tratando
como constante. Lembrete didático: ao integrar em
aparece uma “constante” de integração que pode depender de
, chamamos isso de
.
Aqui expliquei:
porque derivando
dá
; e
porque a derivada de
é
.
Passo 5
Agora usamos a outra condição
para achar
. Diferenciando
em relação a
:
Isso deve ser igual a
. Como o lado direito não depende de
, podemos igualar diretamente:
Passo 6
Integramos
em relação a
:
onde
é uma constante real. Assim obtemos a função potencial completa (até constante):
Passo 7
A solução geral implícita da equação exata é dada por
Podemos juntar
com essa constante e escrever a solução implícita como
Isto significa que qualquer par
que satisfaça essa relação é solução da equação diferencial.
Passo 8
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão implícita:
Portanto
. A solução implícita particular fica
Passo 9
Se quisermos escrever
explicitamente em função de
, reorganizamos a equação como uma quadrática em
:
Multiplicando por
para colocar na forma standard:
ou seja
Aplicando a fórmula quadrática (lembrando: para
, temos
), com
,
,
, obtemos
Passo 10
Precisamos escolher o sinal na solução explícita usando a condição inicial. Em
a expressão sob a raiz vale
então
. As duas possibilidades em
são
Como a condição inicial exige
, escolhemos o sinal negativo no discriminante. Assim a solução explícita que satisfaz o p.v.i. é
com a observação de que esta expressão só faz sentido onde o radicando
é não negativo (domínio da solução explícita).