Resolva os p.v.i.'s abaixo:
((3 x{2}-e{x}) d x+(5-2 y) d y=0, y(0)=1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
(3x^{2}-e^{x})\,dx+(5-2y)\,dy=0,\qquad y(0)=1.
Informações fornecidas:
\;M(x,y)=3x^{2}-e^{x} (coeficiente de dx), \;N(x,y)=5-2y (coeficiente de dy), e a condição inicial \;y(0)=1.
O que se quer: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial.

Passo 2

Vamos testar se a equação é exata. Definição (explicando devagar): uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Um teste prático é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Se forem iguais num domínio, a equação é exata.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-e^{x})=0,
\frac{\partial N}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(5-2y)=0.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x=0, a equação é exata. Ótimo — isso significa que existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=3x^{2}-e^{x},\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=5-2y.

Passo 4

Para encontrar \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante. Lembrete didático: ao integrar em x aparece uma “constante” de integração que pode depender de y, chamamos isso de h(y).
\Phi(x,y)=\int(3x^{2}-e^{x})\,dx = x^{3}-e^{x}+h(y).
Aqui expliquei: \int 3x^{2}\,dx = x^{3} porque derivando x^{3} 3x^{2}; e \int -e^{x}\,dx = -e^{x} porque a derivada de e^{x} é e^{x}.

Passo 5

Agora usamos a outra condição \partial\Phi/\partial y=N para achar h(y). Diferenciando \Phi em relação a y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=h'(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=5-2y. Como o lado direito não depende de x, podemos igualar diretamente:
h'(y)=5-2y.

Passo 6

Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int(5-2y)\,dy = 5y - y^{2} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante real. Assim obtemos a função potencial completa (até constante):
\Phi(x,y)=x^{3}-e^{x}+5y-y^{2}+C_{1}.

Passo 7

A solução geral implícita da equação exata é dada por
\Phi(x,y)=\text{const}.
Podemos juntar C_{1} com essa constante e escrever a solução implícita como
x^{3}-e^{x}+5y-y^{2}=C.
Isto significa que qualquer par (x,y) que satisfaça essa relação é solução da equação diferencial.

Passo 8

Usamos a condição inicial \;y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 na expressão implícita:
0^{3}-e^{0}+5\cdot 1 -1^{2} = -1 +5 -1 =3.
Portanto C=3. A solução implícita particular fica
x^{3}-e^{x}+5y-y^{2}=3.

Passo 9

Se quisermos escrever y explicitamente em função de x, reorganizamos a equação como uma quadrática em y:
-y^{2}+5y+(x^{3}-e^{x}-3)=0.
Multiplicando por -1 para colocar na forma standard:
y^{2}-5y - (x^{3}-e^{x}-3)=0,
ou seja
y^{2}-5y -x^{3}+e^{x}+3=0.
Aplicando a fórmula quadrática (lembrando: para ay^{2}+by+c=0, temos y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}), com a=1, b=-5, c=-x^{3}+e^{x}+3, obtemos
y(x)=\frac{5\pm\sqrt{25+4(x^{3}-e^{x}-3)}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{13+4x^{3}-4e^{x}}}{2}.

Passo 10

Precisamos escolher o sinal na solução explícita usando a condição inicial. Em x=0 a expressão sob a raiz vale
13+4\cdot 0^{3}-4e^{0}=13-4=9,
então \sqrt{\cdot}=3. As duas possibilidades em x=0 são
y(0)=\frac{5+3}{2}=4\quad\text{ou}\quad y(0)=\frac{5-3}{2}=1.
Como a condição inicial exige y(0)=1, escolhemos o sinal negativo no discriminante. Assim a solução explícita que satisfaz o p.v.i. é
y(x)=\frac{5-\sqrt{13+4x^{3}-4e^{x}}}{2},
com a observação de que esta expressão só faz sentido onde o radicando 13+4x^{3}-4e^{x} é não negativo (domínio da solução explícita).

Resposta

y(x)=\dfrac{5-\sqrt{13+4x^{3}-4e^{x}}}{2}

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