Resolva apenas um dos seguintes PVIs:
l2 d yd x=1y+2 xy, y(pi)=raizpi

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
2,dydx = 1y + 2xy, y(pi)=raizpi
É uma equação diferencial ordinária separável. Vamos separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
2,dydx = 1+2xy Longrightarrow dydx = 1+2x2y
Multiplicando ambos os lados por 2y,dx, fica
2y,dy = (1+2x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 2y,dy = integral (1+2x),dx
y^2 = x + x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(pi)=raizpi. Substituindo x=pi e y=raizpi em y^2 = x + x^2 + C:
(raizpi)^2 = pi = pi + pi^2 + C Longrightarrow C = -pi^2

Passo 5

A relação fica
y^2 = x^2 + x - pi^2 Longrightarrow y = pmraizx^2 + x - pi^2
Como y(pi)=raizpi>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x)=raizx^2 + x - pi^2

Resposta

y(x)=raizx^2 + x - pi^2

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