(1 ponto) Encontre a área da calota cortada do topo da esfera x^2+y^2+z^2=1 pelo plano z=raiz2 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da calota da esfera
x^2+y^2+z^2=1
cortada pelo plano
z=raiz22
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície em coordenadas esféricas, usando o elemento de área
,dS=R^2sinphi,dphi,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas centradas na origem temos
x=sinphicostheta, y=sinphisintheta, z=cosphi,
com R=1 e
dS = 1^2sinphi,dphi,dtheta = sinphi,dphi,dtheta
O plano z=raiz2/2 implica
cosphi = raiz22Longrightarrow phi0 = pi4
A calota corresponde a phiin[0,pi/4] e thetain[0,2pi].

Passo 3

A área da calota é
A = integral0^2pi!integral0^pi/4sinphi,dphi,dtheta
Primeiro calcule a integral em phi:
integral0^pi/4sinphi,dphi = 1 - cos!l(tfracpi4r) = 1 - raiz22
Então
A = 2pil(1 - raiz22r) = 2pi - piraiz2

Resposta

2pi - piraiz2

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