Resolva. (Aplicação do primeiro teorema do deslocamento).
L^{-1}\left[\frac{1}{s^{2}+4 s+13}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{1}{s^{2}+4s+13}\biggr].
O tema é transformada inversa de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento, que requer completar o quadrado no denominador e aplicar a fórmula básica
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\Bigr] = e^{-a t}\,\sin(b t).

Passo 2

Começamos completando o quadrado em s^{2}+4s+13. Escrevemos
s^{2}+4s+13 = (s+2)^{2} + 13 - 4 = (s+2)^{2} + 9 = (s+2)^{2} + 3^{2}.

Passo 3

Reescrevemos a função de s como
\frac{1}{s^{2}+4s+13} = \frac{1}{(s+2)^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{3}\,\frac{3}{(s+2)^{2} + 3^{2}}.
Assim identificamos a=2 e b=3 na forma
\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inversa, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}\Bigr] = e^{-2t}\,\sin(3t).
Como havia o fator \tfrac{1}{3} fora, concluímos
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl[\tfrac{1}{s^{2}+4s+13}\bigr] = \tfrac{1}{3}\,e^{-2t}\,\sin(3t).

Resposta

\boxed{\frac{1}{3}\,e^{-2t}\,\sin(3t).}

Exercícios relacionados