Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=\cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' = \cos x
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos achar a solução geral da parte homogênea (solução complementar) e depois uma solução particular para o termo \cos x.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' + y' = 0.
Assumimos y = e^{rx}, obtendo a equação característica
r^2 + r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r\,(r + 1) = 0,
cujas raízes são r=0 e r=-1. Logo, a solução complementar é
y_c = C_1 + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p\) para o termo não-homogêneo \(\cos x\). Como \(\cos x\) e \(\sin x\) não aparecem na solução complementar, fazemos o ansatz \[y_p = A\cos x + B\sin x.
Calculamos as derivadas:
y_p' = -A\sin x + B\cos x, \quad y_p'' = -A\cos x - B\sin x.
Substituindo em y'' + y' = \cos x:
(-A\cos x - B\sin x) + (-A\sin x + B\cos x) = ( -A + B )\cos x + ( -B - A )\sin x
deve ser igual a \cos x + 0\sin x. Portanto, o sistema para A,B é
\begin{cases} -\,A + B = 1,\\\\ -\,B - A = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem B = -A\]. Substituindo na primeira: \[-\,A + (-A) = 1 \quad\Longrightarrow\quad -2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac12,\] logo \(B = -(-\tfrac12) = \tfrac12. Assim
y_p = -\tfrac12\cos x + \tfrac12\sin x.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = y_c + y_p = C_1 + C_2 e^{-x} \;-\;\tfrac12\cos x \;+\;\tfrac12\sin x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-x} - \tfrac12\cos x + \tfrac12\sin x.

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