Resolva. (Aplicação do primeiro teorema do deslocamento).
L^{-1}\left[\frac{s}{(s+1)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{s}{(s+1)^{2}}\biggr]
O conteúdo envolve a aplicação do primeiro teorema do deslocamento (shift), que diz que
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a)\quad\Longrightarrow\quad\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}(t)=e^{at}f(t).

Passo 2

Reescrevemos o numerador s em função de s+1:
\frac{s}{(s+1)^{2}} =\frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}} =\frac{s+1}{(s+1)^{2}}-\frac{1}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Usamos as transformadas inversas conhecidas e o teorema do deslocamento:
  • Sabemos que \mathcal{L}^{-1}[1/s]=1 e \mathcal{L}^{-1}[1/s^{2}]=t.
  • Aplicando o deslocamento s\to s+1 (isto é, a=-1), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\bigl[\tfrac{1}{s+1}\bigr]=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\bigl[\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\bigr]=t\,e^{-t}.

Passo 4

Como a transformada inversa é linear,
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl[\tfrac{s}{(s+1)^{2}}\bigr] =\mathcal{L}^{-1}\bigl[\tfrac{1}{s+1}\bigr] -\mathcal{L}^{-1}\bigl[\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\bigr] =e^{-t}-t\,e^{-t} =(1-t)e^{-t}.

Resposta

(1 - t)\,e^{-t}

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