Resolva:
\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois determinar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, trocando y por e^{rx}, o que leva a
r^2 - 2r + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0
vemos que há raiz dupla r=1.

Passo 4

Para raiz dupla r=1, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2\,x e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.

Passo 5

Aplicando y(0)=1 em
y(0) = C_1 e^0 + C_2\cdot 0\cdot e^0 = C_1 = 1,
logo C_1=1.

Passo 6

Calculamos a derivada
y'(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{x} + C_2 x e^{x} = e^{x}(C_1 + C_2 + C_2 x).
Em x=0 temos
y'(0) = e^0\,(C_1 + C_2) = C_1 + C_2 = 1.
Como C_1=1, segue que 1 + C_2 = 1, ou seja, C_2 = 0.

Resposta

\boxed{y(x) = e^{x}}.

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