Seja y(t) a solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} x^{2} y^{\prime}+x y=1 \\\ y(1)=-1 \end{array}\right.
Podemos afirmar que
a) y(e)=0
b) y(e)=2
c) y(0)=1
d) y(\pi)=0
e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} x^{2}y' + x\,y = 1,\\\ y(1) = -1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrá-la.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^{2} (supondo x\neq0), obtemos a forma padrão
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln|x|) = |x|.
Como trabalhamos para x>0, basta \mu(x)=x. Multiplicando a equação padrão por x, vem
x\,y' + y = \frac{1}{x},
que reconhecemos como
\bigl(x\,y\bigr)' = \frac{1}{x}.

Passo 4

Integrando em x:
x\,y = \int \!\frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{\ln|x| + C}{x}.
Impondo y(1)=-1
-1 = \frac{\ln1 + C}{1} = C,
logo C=-1 e
y(x) = \frac{\ln|x| - 1}{x}.

Resposta

a) y(e)=0

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