Seja y(t) a solução do seguinte problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\frac{x}{y+2} \\\ y(0)=-3 \end{array}\right.
O intervalo I de definição da solução é
a) I=\mathbb{R}
b) I=(-\infty,-2)
c) I=(-2,+\infty)
d) I=(-2,2)
e) I=(-\infty,-2) \cup(-2,+\infty)

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem
y' = \frac{x}{y+2}
com condição inicial y(0) = -3.
O conteúdo é equação diferencial separável; vamos separar variáveis, integrar, impor a condição inicial e então determinar o intervalo máximo de definição, que é limitado por pontos onde y+2=0, pois aí o lado direito não está definido.

Passo 2

Separamos as variáveis:
(y+2)\,dy = x\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int (y+2)\,dy = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y+2)^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C.

Passo 3

Usamos y(0)=-3 para achar C. Em x=0, y=-3
\frac{(-3+2)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac12.
Logo a solução implícita é
\frac{(y+2)^2}{2} = \frac{x^2}{2} + \frac12 \quad\Longrightarrow\quad (y+2)^2 = x^2 + 1.

Passo 4

Extraindo raiz quadrada,
y+2 = \pm\sqrt{x^2 + 1}.
Como em x=0 temos y(0)+2 = -3+2 = -1, adota-se o sinal “–”:
y(x) = -2 - \sqrt{x^2 + 1}.

Passo 5

O lado direito da EDO x/(y+2) só é singular quando y+2=0. Mas para nossa solução
y(x)+2 = -\sqrt{x^2+1} < 0
para todo x\in\mathbb{R}, nunca atinge zero. Portanto não há ponto de singularidade na reta real e a solução existe em todo \mathbb{R}.

Resposta

a) I = \mathbb{R}

Exercícios relacionados