Resolva:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = 0.
O conteúdo que vamos usar é o método do polinômio característico, que transforma essa ODE em uma equação algébrica de segundo grau cujas raízes determinam a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na ODE, temos
r^2e^{rx} - re^{rx} - 2e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq0, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
r^2 - r - 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
r^2 - r - 2 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
Assim, as raízes são
r_1 = 2 \quad\text{e}\quad r_2 = -1.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}.

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