Resolva, em C, as equações:
4^x-5 cdot 2^x+6=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em C a equação 4^x - 5cdot2^x + 6 = 0. O conteúdo envolvido é equações exponenciais e números complexos. Vamos precisar usar a propriedade de potências ( 4^x = (2^x)^2), técnica de substituição e a forma geral de resolver 2^x = t no domínio complexo.

Passo 2

Observando que 4^x = (2^x)^2, fazemos a substituição t = 2^x. Assim, a equação original se transforma em
t^2 - 5t + 6 = 0

Passo 3

Para resolver a equação quadrática t^2 - 5t + 6 = 0, fatoramos:
(t - 2)(t - 3) = 0
Logo, as raízes são t = 2 e t = 3.

Passo 4

Agora precisamos resolver, em C, as duas equações 2^x = t. Como 2^x = e^xln 2, temos
e^xln 2 = t Longrightarrow xln 2 = ln t + 2pi i k, ;kinZ

Passo 5

Portanto,
x = ln t + 2pi i kln 2, kinZ

Passo 6

Substituindo t = 2 e t = 3, obtemos as duas famílias de soluções em C.

Resposta

As soluções são
x = 1 + \frac{2\pi i k}{\ln 2}\quadou\quad x = \frac{\ln 3}{\ln 2} + \frac{2\pi i k}{\ln 2},\quad k\in\mathbb{Z}.

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