Mostre que a função
dada por
é estritamente crescente. Conclua que se
, então
. (Sugestão: use que
para todo
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
, definida por
, é estritamente crescente. O conteúdo usado será cálculo de derivada para estudar monotonicidade de funções trigonométricas e a desigualdade clássica
para
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do quociente, temos:
Para decidir o sinal de
, basta analisar o numerador
.
Passo 3
Reescrevendo
:
$$
x\sec^2x - \tan x>0 \iff x\frac{1}{\cos^2x}>\frac{\sin x}{\cos x}.
x>\sin x\cos x.
\tfrac12\sin2x<\tfrac12\cdot2x=x. $$
Logo , o que implica
e portanto
para todo
.
Logo
Passo 4
Como
neste intervalo, concluímos que
é estritamente crescente. Então, se
, vale
$$
f(b)>f(a) \iff \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a} \iff \frac{\tan b}{\tan a}>\frac{b}{a}. $$
Isso encerra a demonstração.
Isso encerra a demonstração.