Mostre que a função f:] 0, pi2[ R dada por f(x)=tan xx é estritamente crescente. Conclua que se 0, então tan btan a>ba. (Sugestão: use que sin (theta) para todo theta>0.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f:]0,tfracpi2[toR, definida por f(x)=tfractan xx, é estritamente crescente. O conteúdo usado será cálculo de derivada para estudar monotonicidade de funções trigonométricas e a desigualdade clássica sintheta para theta>0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Usando a regra do quociente, temos:
f'(x)=xcdot sec^2x - tan xcdot1x^2=xsec^2x - tan xx^2
Para decidir o sinal de f'(x), basta analisar o numerador g(x)=xsec^2x - tan x.

Passo 3

Reescrevendo g(x)>0:
$$
x\sec^2x - \tan x>0 \iff x\frac{1}{\cos^2x}>\frac{\sin x}{\cos x}. xsec^2x - tan x>0 iff x1cos^2x>sin xcos x
x>\sin x\cos x. cos^2x>0
\tfrac12\sin2x<\tfrac12\cdot2x=x. $$
Logo x>sin xcos x , o que implica sin xcos x=tfrac12sin2x e portanto sintheta para todo theta=2x>0.

Passo 4

Como f'(x)>0 neste intervalo, concluímos que f é estritamente crescente. Então, se 0, vale
$$
f(b)>f(a) \iff \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a} \iff \frac{\tan b}{\tan a}>\frac{b}{a}. $$
Isso encerra a demonstração.

Resposta

tan btan a>ba.

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