Mostre que a função f(x)=(1-x) cos x-sin x é estritamente decrescente no intervalo ] 0,1[. Conclua que a equação (1-x) cos x=sin x possui uma única solução nesse intervalo.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=(1-x)cos x-sin x e pede para mostrar que ela é estritamente decrescente em ]0,1[ e, a partir disso, concluir que a equação (1-x)cos x=sin x tem uma única solução nesse intervalo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Usando regra do produto em (1-x)cos x e derivada de -sin x:
f'(x)=ddxl((1-x)cos xr)-ddx(sin x) =-cos x+(1-x)(-sin x)-cos x =-2cos x-(1-x)sin x

Passo 3

Note que em ]0,1[ temos cos x>0 e sin x>0. Logo
2cos x+(1-x)sin x>0
e portanto
f'(x)=-l(2cos x+(1-x)sin xr)<0 forall xin]0,1[
Isto mostra que f é estritamente decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Como f(0)=1>0 e f(1)=(1-1)cos1-sin1=-sin1<0, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 em ]0,1[. Mas sendo f estritamente decrescente, essa raiz é única. Assim, a equação (1-x)cos x=sin x tem exatamente uma solução em ]0,1[.

Resposta

A função é estritamente decrescente em ]0,1[ e a equação (1-x)cos x=sin x possui exatamente uma solução nesse intervalo.

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