Mostre que a função
é estritamente decrescente no intervalo
. Conclua que a equação
possui uma única solução nesse intervalo.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela é estritamente decrescente em
e, a partir disso, concluir que a equação
tem uma única solução nesse intervalo.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Usando regra do produto em
e derivada de
:
Passo 3
Note que em
temos
e
. Logo
e portanto
Isto mostra que
é estritamente decrescente nesse intervalo.
Passo 4
Como
e
, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz de
em
. Mas sendo
estritamente decrescente, essa raiz é única. Assim, a equação
tem exatamente uma solução em
.
Resposta
A função é estritamente decrescente em ]0,1[ e a equação
possui exatamente uma solução nesse intervalo.