[5] - Sejam A, B \subset \mathbb{R} conjuntos limitados não vazios. Suponha que x \leq y para todo x \in todo y \in B, prove que \sup (A) \leq \sup (B).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados:
    • A e B são subconjuntos de \mathbb{R}, ambos limitados e não vazios.
    • Supõe-se que x \le y para todo x \in A e todo y \in B. Ou seja, cada elemento de A é menor ou igual a cada elemento de B.
  • Pedido:
    • Provar que \sup(A) \le \sup(B).

Passo 2

Relembrando a definição e uma propriedade que vamos usar, explicada de forma bem direta.
  • Definição (cortinha): u é um majorante (upper bound) de um conjunto S\subset\mathbb{R} se s \le u para todo s\in S.
  • Definição (supremo): \sup(S) é o menor dos majorantes de S; isto é, \sup(S) é um majorante de S e nenhum número menor que \sup(S) é majorante de S.
  • Propriedade útil (e fácil de entender): se u é qualquer majorante de S, então \sup(S) \le u. Porque \sup(S) é o menor majorante possível — não pode ser maior que outro majorante u, senão u não seria maior.
Vou usar essa propriedade: para mostrar \sup(A) \le \sup(B) basta provar que \sup(B) é um majorante de A. Então aplico a propriedade para concluir.

Passo 3

Mostrar que \sup(B) é um majorante de A.
  • Como B é não vazio, existe algum elemento y_0\in B.
  • Pela hipótese do enunciado, para qualquer x\in A vale x \le y_0 (porque x\le y para todo y\in B, em particular para y_0).
  • Além disso, por definição de supremum, \sup(B) é um majorante de B, logo y_0 \le \sup(B).

Passo 4

Encadear as desigualdades para qualquer elemento x\in A.
  • Tomando um x\in A arbitrário e o y_0\in B escolhido, temos x \le y_0 \le \sup(B).
  • Daí segue que x \le \sup(B) para todo x\in A.

Passo 5

Concluir que \sup(B) é um majorante de A e aplicar a propriedade do supremo.
  • Como mostramos que x \le \sup(B) para todo x\in A, isto significa que \sup(B) é um majorante de A.
  • Pela propriedade explicada no Passo 2 (o supremo é o menor majorante), para todo majorante u de A temos \sup(A)\le u. Aplicando com u=\sup(B) obtemos \sup(A) \le \sup(B).

Resposta

\sup(A) \le \sup(B)

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