[5] - Sejam
conjuntos limitados não vazios. Suponha que
para todo
todo
, prove que
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados:
-
e são subconjuntos de , ambos limitados e não vazios. - Supõe-se que
para todo e todo . Ou seja, cada elemento de é menor ou igual a cada elemento de .
-
-
Pedido:
- Provar que
.
- Provar que
Passo 2
Relembrando a definição e uma propriedade que vamos usar, explicada de forma bem direta.
-
Definição (cortinha):
é um majorante (upper bound) de um conjunto se para todo . -
Definição (supremo):
é o menor dos majorantes de ; isto é, é um majorante de e nenhum número menor que é majorante de . -
Propriedade útil (e fácil de entender): se
é qualquer majorante de , então . Porque é o menor majorante possível — não pode ser maior que outro majorante , senão não seria maior.
Vou usar essa propriedade: para mostrar
basta provar que
é um majorante de
. Então aplico a propriedade para concluir.
Passo 3
Mostrar que
é um majorante de
.
- Como
é não vazio, existe algum elemento . - Pela hipótese do enunciado, para qualquer
vale (porque para todo , em particular para ). - Além disso, por definição de supremum,
é um majorante de , logo .
Passo 4
Encadear as desigualdades para qualquer elemento
.
- Tomando um
arbitrário e o escolhido, temos - Daí segue que
para todo .
Passo 5
Concluir que
é um majorante de
e aplicar a propriedade do supremo.
- Como mostramos que
para todo , isto significa que é um majorante de . - Pela propriedade explicada no Passo 2 (o supremo é o menor majorante), para todo majorante
de temos . Aplicando com obtemos