Verifique se a sequencia
converge .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na sequência $ a_n = \frac{n \sqrt{n}}{n^{3} + 1} $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai “fincar” em algum número quando $ n $ cresce cada vez mais. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificar a expressão para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Sabemos que $ \sqrt{n} $ é o mesmo que $ n^{1/2} $, então podemos reescrever:
Passo 3
Agora, pra facilitar o cálculo do limite quando $ n $ vai para o infinito, vamos dividir o numerador e o denominador por $ n^{3} $, que é a maior potência de $ n $ no denominador:
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente:
- No numerador: $ n^{-3/2} = \frac{1}{n^{3/2}} $. Quando $ n $ cresce, $ \frac{1}{n^{3/2}} $ tende a 0.
- No denominador: $ 1 + n^{-3} = 1 + \frac{1}{n^{3}} $. Quando $ n $ cresce, $ \frac{1}{n^{3}} $ também tende a 0, então o denominador tende a 1.
Passo 5
Então, juntando tudo:
Resposta
A sequência $ a_n = \frac{n \sqrt{n}}{n^{3} + 1} $ converge para 0.