Verifique se a sequencia (an)=(n(raizn)n^3+1) converge .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na sequência $ a_n = \frac{n \sqrt{n}}{n^{3} + 1} $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai “fincar” em algum número quando $ n $ cresce cada vez mais. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificar a expressão para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Sabemos que $ \sqrt{n} $ é o mesmo que $ n^{1/2} $, então podemos reescrever:
raizn

Passo 3

Agora, pra facilitar o cálculo do limite quando $ n $ vai para o infinito, vamos dividir o numerador e o denominador por $ n^{3} $, que é a maior potência de $ n $ no denominador:
n

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente:
  • No numerador: $ n^{-3/2} = \frac{1}{n^{3/2}} $. Quando $ n $ cresce, $ \frac{1}{n^{3/2}} $ tende a 0.
  • No denominador: $ 1 + n^{-3} = 1 + \frac{1}{n^{3}} $. Quando $ n $ cresce, $ \frac{1}{n^{3}} $ também tende a 0, então o denominador tende a 1.

Passo 5

Então, juntando tudo:
limn to infty an = 01 = 0

Resposta

A sequência $ a_n = \frac{n \sqrt{n}}{n^{3} + 1} $ converge para 0.

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