Resolva a equação de Bernoulli:
d yd x+1x y=-2 x^5 y^4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
dydx+1xy=-2x^5y^4
Aqui o conteúdo é equações diferenciais de Bernoulli, que têm a forma
dydx+P(x)y=Q(x)y^n
(neste caso, P(x)=1/x, Q(x)=-2x^5 e n=4). Vamos usar a substituição clássica z=y^1-n=y^-3.

Passo 2

Para eliminar o termo y^4 e transformar em uma equação linear, dividimos tudo por y^4. Ficamos com
y^-4dydx+1xy^-3=-2x^5
Como sabemos que
ddx(y^-3)=-3y^-4dydx,
podemos reescrever y^-4dydx=-tfrac13ddx(y^-3).

Passo 3

Substituindo na equação obtida, vem
-13ddx(y^-3)+1xy^-3=-2x^5
Multiplicando ambos os lados por -3) para simplificar,
ddx(y^-3)-3xy^-3=6x^5
Agora definimos z=y^-3, e temos uma equação linear em z:
dzdx-3xz=6x^5

Passo 4

Para resolver essa equação linear, calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral -3/x,dx=e^-3ln x=x^-3
Multiplicando a equação por x^-3 obtemos
x^-3dzdx-3xx^-3z=6x^5cdot x^-3
que é
ddxl(x^-3zr)=6x^2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integralddx(x^-3z),dx=integral6x^2,dx
resultando em
x^-3z=2x^3+C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por x^3 temos
z=2x^6+Cx^3

Passo 6

Voltando à substituição z=y^-3, vem
y^-3=2x^6+Cx^3
Para encontrar y, basta inverter e extrair a raiz cúbica:
y^3=12x^6+Cx^3,
y=l(2x^6+Cx^3r)^-1/3

Resposta

y(x)=l(2x^6+Cx^3r)^-1/3, onde C é constante de integração.

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