Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
\frac{2 x-3}{x+1} \leq 0

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos: resolver a desigualdade \dfrac{2x-3}{x+1} \leq 0. Informações relevantes fornecidas (ou fáceis de obter diretamente do enunciado):
  • Numerador: 2x-3.
  • Denominador: x+1.
  • Pontos onde a expressão pode mudar de sinal ou deixar de estar definida: o numerador zera em x=\dfrac{3}{2} e o denominador zera em x=-1.
  • A solução pedida deve ser escrita na notação de intervalos.

Passo 2

Ideia e regras importantes para resolver desigualdades envolvendo frações racionais:
  • Uma fração \dfrac{A}{B} é igual a zero exatamente quando A=0 e B\neq0. Então zeros do numerador produzem valores \,0 (desde que o denominador não zere no mesmo ponto).
  • A fração é indefinida quando o denominador B=0; esses pontos devem ser excluídos da solução.
  • Para \dfrac{A}{B}\le0 queremos os pontos onde a fração é negativa OU igual a zero.
  • Método prático: encontrar os pontos críticos (zeros do numerador e do denominador), dividir a reta real em intervalos por esses pontos, escolher um valor-teste em cada intervalo e verificar o sinal da fração nesse valor. Incluir os pontos onde a fração vale zero (se o denominador for diferente de zero aí) e excluir os pontos onde o denominador é zero.

Passo 3

Determinar os pontos críticos e os intervalos a testar:
  • Zero do numerador: resolver 2x-3=0 x=\dfrac{3}{2}.
  • Zero do denominador: resolver x+1=0 x=-1 (aqui a expressão é indefinida).
  • Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,\tfrac{3}{2}) e (\tfrac{3}{2},\infty).

Passo 4

Testar o sinal da fração em cada intervalo usando valores fáceis:
  • No intervalo (-\infty,-1), escolha x=-2.
    • Numerador: 2(-2)-3 = -4-3 = -7 (negativo).
    • Denominador: -2+1=-1 (negativo).
    • Fração: \dfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}}=\text{positivo}. Então a fração é positiva em (-\infty,-1) — não satisfaz \le0.
  • No intervalo (-1,\tfrac{3}{2}), escolha x=0.
    • Numerador: 2\cdot0-3=-3 (negativo).
    • Denominador: 0+1=1 (positivo).
    • Fração: \dfrac{\text{negativo}}{\text{positivo}}=\text{negativo}. Então a fração é negativa em (-1,\tfrac{3}{2}) — satisfaz \le0.
  • No intervalo (\tfrac{3}{2},\infty), escolha x=2.
    • Numerador: 2\cdot2-3=4-3=1 (positivo).
    • Denominador: 2+1=3 (positivo).
    • Fração: \dfrac{\text{positivo}}{\text{positivo}}=\text{positivo}. Então a fração é positiva em (\tfrac{3}{2},\infty) — não satisfaz \le0.

Passo 5

Decidir inclusão/exclusão dos pontos críticos:
  • Em x=-1 o denominador zera, a expressão é indefinida, logo x=-1 NÃO faz parte da solução (ponto excluído).
  • Em x=\tfrac{3}{2} o numerador zera e o denominador é \tfrac{3}{2}+1=\tfrac{5}{2}\neq0, então a fração vale 0 aí. Como a desigualdade é \le0, devemos INCLUIR x=\tfrac{3}{2}.
Juntando: o conjunto de pontos onde a fração é negativa é (-1,\tfrac{3}{2}); incluindo o zero em \tfrac{3}{2} (-1,\tfrac{3}{2}].

Resposta

(-1,\tfrac{3}{2}]

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