Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos: resolver a desigualdade
. Informações relevantes fornecidas (ou fáceis de obter diretamente do enunciado):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Pontos onde a expressão pode mudar de sinal ou deixar de estar definida: o numerador zera em
e o denominador zera em . - A solução pedida deve ser escrita na notação de intervalos.
Passo 2
Ideia e regras importantes para resolver desigualdades envolvendo frações racionais:
- Uma fração
é igual a zero exatamente quando e . Então zeros do numerador produzem valores (desde que o denominador não zere no mesmo ponto). - A fração é indefinida quando o denominador
; esses pontos devem ser excluídos da solução. - Para
queremos os pontos onde a fração é negativa OU igual a zero. - Método prático: encontrar os pontos críticos (zeros do numerador e do denominador), dividir a reta real em intervalos por esses pontos, escolher um valor-teste em cada intervalo e verificar o sinal da fração nesse valor. Incluir os pontos onde a fração vale zero (se o denominador for diferente de zero aí) e excluir os pontos onde o denominador é zero.
Passo 3
Determinar os pontos críticos e os intervalos a testar:
- Zero do numerador: resolver
dá . - Zero do denominador: resolver
dá (aqui a expressão é indefinida). - Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
, e .
Passo 4
Testar o sinal da fração em cada intervalo usando valores fáceis:
- No intervalo
, escolha . - Numerador:
(negativo). - Denominador:
(negativo). - Fração:
. Então a fração é positiva em — não satisfaz .
- Numerador:
- No intervalo
, escolha . - Numerador:
(negativo). - Denominador:
(positivo). - Fração:
. Então a fração é negativa em — satisfaz .
- Numerador:
- No intervalo
, escolha . - Numerador:
(positivo). - Denominador:
(positivo). - Fração:
. Então a fração é positiva em — não satisfaz .
- Numerador:
Passo 5
Decidir inclusão/exclusão dos pontos críticos:
- Em
o denominador zera, a expressão é indefinida, logo NÃO faz parte da solução (ponto excluído). - Em
o numerador zera e o denominador é , então a fração vale aí. Como a desigualdade é , devemos INCLUIR .
Juntando: o conjunto de pontos onde a fração é negativa é
; incluindo o zero em
dá
.