Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
|x| \leq 7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade |x| \leq 7 e escrever a solução usando notação de intervalos. Informações dadas:
  • A incógnita é x (número real).
  • A desigualdade envolve o valor absoluto |x| e o operador \leq (menor ou igual).
  • Quer-se o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem |x|\leq7.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de valor absoluto e o que ela implica. Para qualquer número real x\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Isto significa que |x|\] é sempre não negativo e mede a "distância" de \(x até 0 na reta numérica. Uma desigualdade do tipo |x|\le a com a\ge0 é interpretada como: a distância de x a 0 é no máximo a.]

Passo 3

Usando o método por casos (o mais direto aqui), primeiro trato o caso onde x é não negativo.
Caso 1: suponha x\ge 0. Então |x|=x. A desigualdade vira
x \le 7.
Como estamos no subcaso x\ge0, a solução desse caso é
0 \le x \le 7.

Passo 4

Agora trato o caso onde x é negativo.
Caso 2: suponha x<0. Então |x|=-x. A desigualdade vira
-x \le 7.
Multiplicando ambos os lados por -1 e lembrando que isso inverte a desigualdade, obtemos
x \ge -7.
Como neste caso também temos x<0, a solução desse caso é
-7 \le x < 0.

Passo 5

Juntando as soluções dos dois casos, temos
-7 \le x < 0 \quad\text{ou}\quad 0 \le x \le 7.
Esses dois intervalos tocam em 0, então a união é simplesmente
-7 \le x \le 7.
Escrevendo em notação de intervalos, a solução é [-7,\,7].

Passo 6

Observações rápidas e dicas para a prova: sempre que vir |x|\le a com a\ge0, você já pode lembrar o resultado imediato
|x|\le a \Longleftrightarrow -a \le x \le a.
Se fosse |x|<a, muda apenas para a abertura dos extremos: (-a,a). Isso te salva tempo quando a prova é corrida. Força aí — tá indo bem!

Resposta

[-7,\,7]

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