Resolva cada uma das EDOs ou PVIs seguintes:
sin ^2 y+cos ^2 x d yd x=0, y(pi4)=pi4 ;

Passo 1

Temos o PVI com a EDO separável sin^2 y + cos^2 x dydx = 0 e a condição inicial y(tfracpi4)=tfracpi4. Vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrever a EDO isolando tfracdydx e separar variáveis:
Reescrevendo temos
dydx = -sin^2 ycos^2 x
Logo, separando:
dysin^2 y = -dxcos^2 x
Integrando ambos os lados:
integral dysin^2 y = integral -dxcos^2 x
Usando as integrais conhecidas integral csc^2 y,dy = -cot y e integral sec^2 x,dx = tan x, obtemos
-cot y = -tan x + C
Que é equivalente a cot y = tan x + K.

Passo 3

Aplicando a condição inicial y(tfracpi4)=tfracpi4:
cotl(tfracpi4r)=tanl(tfracpi4r)+K
Ou seja, 1=1+K, logo K=0. Assim cot y = tan x.

Passo 4

Da relação cot y = tan x = cot(tfracpi2-x), concluímos que:
y = pi2 - x

Resposta

y(x) = \frac{\pi}{2} - x

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