Resolva cada uma das EDOs ou PVIs seguintes:
y^prime=8 x y+3 y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
Temos a equação
y'=8xy+3y
O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem com separação de variáveis, pois é possível escrever todos os termos em função de y de um lado e de x do outro.

Passo 2

A gente começa vendo que dá para separar as variáveis dividindo ambos os lados por y (assumindo yneq0) e passando o dx:
y'y=8x+3
Como y'=dydx, isso vira
1y,dy=(8x+3),dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Do lado esquerdo, integramos 1/y em relação a y. Do lado direito, integramos 8x+3 em relação a x:
integral1y,dy=integral(8x+3),dx

Passo 4

Calculando as integrais:
Do lado esquerdo:
integral1y,dy=ln|y|+C1
Do lado direito:
integral(8x+3),dx=4x^2+3x+C2
Juntando e absorvendo as constantes em uma só C:
ln|y|=4x^2+3x+C

Passo 5

Por fim, exponenciamos para isolar y. Como e^ln|y|=|y|, obtemos
|y|=e^4x^2+3x+C=e^C,e^4x^2+3x
Chamando e^C de constante arbitrária A (que pode ser positiva ou negativa), temos a solução geral:
y(x)=A,e^4x^2+3x

Resposta

y(x)=C,e^4x^2+3x

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