Resolva cada equação diferencial abaixo por separação de variável:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial e precisamos resolvê-la usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $, facilitando a integração de cada lado.
A equação dada é:
y

Passo 2

Primeiro, vamos tentar fatorar termos semelhantes para facilitar a separação das variáveis. Observamos que $ y $ está presente em ambos os termos do lado esquerdo e $ x $ no lado direito.
Fatorando, temos:
y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com $ y $ em um lado e os com $ x $ no outro. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por $ (2 + y^{2})(4 + x^{2}) $:
y

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
integral y2 + y^2 dy = integral x4 + x^2 dx

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo, substituímos $ u = 2 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $, ou seja, $ \frac{1}{2} du = y , dy $. Assim,
u = 2 + y^2
Para o lado direito, substituímos $ v = 4 + x^{2} $, então $ dv = 2x , dx $, ou seja, $ \frac{1}{2} dv = x , dx $. Assim,
du = 2y , dy

Passo 6

Igualando as integrais calculadas:
12 ln|2 + y^2| = 12 ln|4 + x^2| + C
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
ln|2 + y^2| = ln|4 + x^2| + C'
onde $ C’ = 2C $ é uma constante arbitrária.

Passo 7

Para resolver em termos de $ y $, vamos exponenciar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y
onde $ K = e^{C’} $ é outra constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 = K (4 + x^2) - 2
onde $ K $ é uma constante arbitrária.

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