Resolva cada equação diferencial abaixo por separação de variável:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial e precisamos resolvê-la usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $, facilitando a integração de cada lado.
A equação dada é:
Passo 2
Primeiro, vamos tentar fatorar termos semelhantes para facilitar a separação das variáveis. Observamos que $ y $ está presente em ambos os termos do lado esquerdo e $ x $ no lado direito.
Fatorando, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com $ y $ em um lado e os com $ x $ no outro. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por $ (2 + y^{2})(4 + x^{2}) $:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo, substituímos $ u = 2 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $, ou seja, $ \frac{1}{2} du = y , dy $. Assim,
Para o lado direito, substituímos $ v = 4 + x^{2} $, então $ dv = 2x , dx $, ou seja, $ \frac{1}{2} dv = x , dx $. Assim,
Passo 6
Igualando as integrais calculadas:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
onde $ C’ = 2C $ é uma constante arbitrária.
Passo 7
Para resolver em termos de $ y $, vamos exponenciar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde $ K = e^{C’} $ é outra constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ K $ é uma constante arbitrária.