Resolva cada equação diferencial abaixo por separação de variável:
(e^y sen 2 x d x+cos x(e^2 y-y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem
e^y,sin2x,dx ;+;cos x,l(e^2y-yr),dy ;=;0
O conteúdo aqui é “equação separável”: vamos reescrever em forma de tfracdydx e ver se conseguimos agrupar tudo que depende de y num lado e tudo que depende de x no outro.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
e^ysin2x ;+;cos x,(e^2y-y),dydx ;=;0 Longrightarrow dydx =-e^ysin2xcos x,(e^2y-y)
Observando que sin2x=2sin xcos x, isso vira
dydx =-2sin x;e^ye^2y-y
Agora dá para separar variáveis:
e^2y-ye^y,dy ;=;-2sin x,dx

Passo 3

Vamos integrar o lado em y. Primeiro note que
e^2y-ye^y = e^y-y,e^-y,
logo precisamos calcular
integrall(e^y-y,e^-yr),dy =integral e^y,dy ;-;integral y,e^-y,dy
A primeira integral é direta:
integral e^y,dy = e^y
Para a segunda, use integração por partes com u=y e dv=e^-ydy, obtendo
integral y,e^-y,dy =-e^-y(y+1)
Logo
integrall(e^y-y,e^-yr),dy = e^y + (y+1)e^-y

Passo 4

Agora integramos o lado em x:
integral -2sin x,dx = 2cos x

Passo 5

Igualando as primitivas e incluindo a constante de integração C, temos a solução implícita
e^y + (y+1)e^-y = 2cos x + C

Resposta

e^y + (y+1)e^-y = 2cos x + C

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