Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO separável abaixo e também suas soluções constantes:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
por separação de variáveis e também identificar soluções constantes. Vamos usar a técnica de variáveis separáveis e depois acrescentar para achar as soluções constantes.
Passo 2
Para achar soluções constantes, suponha (constante). Então e a EDO vira
Para que isso valha para todo , precisamos de , ou seja
é a única solução constante.
Passo 3
Agora se , separamos variáveis escrevendo
Passo 4
Integramos ambos os lados. À esquerda,
À direita, fazemos divisão de polinômios:
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Passo 5
Reunindo os resultados, obtemos
-,1y = x^22 - x + lnl|1+xr| + C1
Podemos reescrever em forma implícita padrão definindo C=-C1:
x^22 - x + lnl|1+xr| + 1y = C
Passo 6
Se quisermos, isolamos y explicitamente:
1y = C - x^22 + x - lnl|1+xr|, y = 1,C - tfracx^22 + x - lnl|1+xr|,