Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO separável abaixo e também suas soluções constantes:
d yd x=x^2 y^21+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
dydx = x^2y^21+x
por separação de variáveis e também identificar soluções constantes. Vamos usar a técnica de variáveis separáveis e depois acrescentar dy/dx=0 para achar as soluções constantes.

Passo 2

Para achar soluções constantes, suponha y=C (constante). Então dy/dx=0 e a EDO vira
0 = x^2C^21+x
Para que isso valha para todo xneq -1, precisamos de C^2=0, ou seja
y(x)=0
é a única solução constante.

Passo 3

Agora se yneq0, separamos variáveis escrevendo
dyy^2 = x^21+x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. À esquerda,
integral y^-2,dy = -1y
À direita, fazemos divisão de polinômios:
x^21+x = x-1 + 11+x,
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integralx^21+x,dx = integrall(x-1r),dx + integral11+x,dx = x^22 - x + lnl|1+xr| + C1

Passo 5

Reunindo os resultados, obtemos
-,1y = x^22 - x + lnl|1+xr| + C1
Podemos reescrever em forma implícita padrão definindo C=-C1:
x^22 - x + lnl|1+xr| + 1y = C

Passo 6

Se quisermos, isolamos y explicitamente:
1y = C - x^22 + x - lnl|1+xr|, y = 1,C - tfracx^22 + x - lnl|1+xr|,

Resposta

A família de soluções implícita é
x^22 - x + lnl|1+xr| + 1y = C,
e a única solução constante é
y(x)=0

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