Resolva cada equação diferencial dada.
x y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial x y'' + y' = 0. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, e para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares. Vamos por partes para entender e resolver isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo tudo por x, a equação fica:
y'' + 1x y' = 0
Isso torna mais fácil identificar o tipo de equação que estamos lidando.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = y'. Assim, a equação fica:
u' + 1x u = 0
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de u.

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x
Multiplicando toda a equação por mu(x), temos:
x u' + u = 0
Isso simplifica para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Agora, a equação pode ser reescrita como:
ddx(u cdot x) = 0
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos:
u cdot x = C
Onde C é a constante de integração. Então,
u = Cx

Passo 6

Lembrando que u = y', temos:
y' = Cx
Agora, vamos integrar novamente para encontrar y:
y = integral Cx dx + D = C ln|x| + D
Onde D é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 ln|x| + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Exercícios relacionados