Resolva cada equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, e para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares. Vamos por partes para entender e resolver isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo tudo por
, a equação fica:
Isso torna mais fácil identificar o tipo de equação que estamos lidando.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
. Assim, a equação fica:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
.
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
, temos:
Isso simplifica para uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 5
Agora, a equação pode ser reescrita como:
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Onde
é a constante de integração. Então,
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.