Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo envolvido é encontrar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular, usando os fundamentos de sistemas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
A equação característica é
Portanto as soluções fundamentais são
e a solução homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação dos parâmetros, calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
As fórmulas para as funções u1' e u2' são
u1' = -y2,f(x)W(x), u2' = y1,f(x)W(x),
onde f(x)=cosh x é o termo não homogêneo.
Passo 4
Calculamos u1' e integramos:
u1' = -e^xcosh xe^x = -cosh x, u1(x) = -integral cosh x ,dx = -sinh x