Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^prime prime-y^prime=cosh x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - y' = cosh x
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo envolvido é encontrar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular, usando os fundamentos de sistemas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y'' - y' = 0
A equação característica é
r^2 - r = 0 Longrightarrow r(r-1)=0 Longrightarrow r=0,,1
Portanto as soluções fundamentais são
y1(x)=1, y2(x)=e^x,
e a solução homogênea é
yh(x)=C1 + C2 e^x

Passo 3

Para aplicar variação dos parâmetros, calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(x) = y1 & y2 y1'& y2' = 1 & e^x 0 & e^x = e^x
As fórmulas para as funções u1' e u2' são
u1' = -y2,f(x)W(x), u2' = y1,f(x)W(x),
onde f(x)=cosh x é o termo não homogêneo.

Passo 4

Calculamos u1' e integramos:
u1' = -e^xcosh xe^x = -cosh x, u1(x) = -integral cosh x ,dx = -sinh x
Em seguida u2' e sua integral:
u2' = 1cdotcosh xe^x = cosh x,e^-x = e^x + e^-x2,e^-x = 1 + e^-2x2,
u2(x) = integral 1 + e^-2x2,dx = x2 - e^-2x4

Passo 5

A solução particular é
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x) = -sinh x + l(x2-e^-2x4r)e^x
Fazendo a simplificação,
-sinh x = -e^x - e^-x2 = -e^x2 + e^-x2,
yp(x) = -e^x2 + e^-x2 + x e^x2 - e^-x4 = (x-1)e^x2 + e^-x4

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^x + (x-1)e^x2 + e^-x4
Como todos os coeficientes e funções envolvidas são contínuos para todo xinR, essa solução é válida para R.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^x + (x-1)e^x2 + e^-x4, xinR

Exercícios relacionados