resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{x} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' - 2y' + 2y = e^x \tan x
pelo método da variação dos parâmetros.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Para isso vamos precisar de:
1. solução geral da homogênea,
2. um sistema fundamental \{y_1,y_2\},
3. o wronskiano W,
4. as fórmulas de variação dos parâmetros e as integrais envolvidas,
5. montar a solução particular y_p e somar à homogênea.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'' - 2y' + 2y = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 2r + 2 = 0
cuja solução é
r = 1 \pm i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = e^x\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Passo 3

Tomamos como sistema fundamental
y_1 = e^x \cos x, \quad y_2 = e^x \sin x.
Calculamos o wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^x \cos x\,(e^x \sin x + e^x \cos x) - e^x \sin x\,(e^x \cos x - e^x \sin x) = e^{2x}.

Passo 4

Pela variação dos parâmetros, definimos
u_1' = -\frac{y_2\,g}{W}, \quad u_2' = \frac{y_1\,g}{W},
onde g(x)=e^x\tan x.
Então
\frac{y_2\,g}{W} = \frac{e^x\sin x\;\cdot e^x\tan x}{e^{2x}} = \sin x\tan x = \frac{\sin^2 x}{\cos x},
\frac{y_1\,g}{W} = \frac{e^x\cos x\;\cdot e^x\tan x}{e^{2x}} = \cos x\tan x = \sin x.
Logo
u_1' = -\frac{\sin^2 x}{\cos x}, \quad u_2' = \sin x.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1 = \int u_1'\,dx = -\int \frac{\sin^2 x}{\cos x}\,dx = -\int\bigl(\operatorname{sec} x - \cos x\bigr)\,dx = -\bigl(\ln|\operatorname{sec} x+\tan x| - \sin x\bigr),
u_2 = \int u_2'\,dx = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2.
Substituindo
y_p = \Bigl[-\bigl(\ln|\operatorname{sec} x+\tan x| - \sin x\bigr)\Bigr]\,e^x\cos x + (-\cos x)\,e^x\sin x.
Repare que e^x\cos x\sin x - e^x\sin x\cos x se anulam, sobrando
y_p = -e^x\cos x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = e^x\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) \;-\;e^x\cos x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.

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