resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
Passo 1
Estamos diante da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
e
. O método será o das coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular para o termo não homogêneo e, por fim, aplicamos as condições iniciais.
Passo 2
Resolvemos a homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo polinomial
. Como o termo é de grau
, tomamos
Calculando
e igualando a
temos
Assim
Passo 4
Agora uma particular
para
. Tentamos
Então
e
Igualando a
dá
Logo
Passo 5
A solução geral da não homogênea é
Passo 6
Derivando,
Em
:
Resolvendo o sistema
temos