resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
y^{\prime \prime}-y=x+\operatorname{sen} x, y(0)=2, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = x + \sin x
sujeita a y(0)=2 e y'(0)=3. O método será o das coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular para o termo não homogêneo e, por fim, aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

Resolvemos a homogênea
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo polinomial x. Como o termo é de grau 1, tomamos
y_{p1}(x) = A x + B.
Calculando
y_{p1}'' - y_{p1} = 0 - (A x + B) = -A x - B
e igualando a x temos
- A x - B = x \quad\Longrightarrow\quad - A = 1,\;-B=0 \;\Longrightarrow\; A = -1,\;B=0.
Assim
y_{p1}(x) = -x.

Passo 4

Agora uma particular y_{p2} para \sin x. Tentamos
y_{p2}(x) = C\sin x + D\cos x.
Então
y_{p2}'' = -C\sin x - D\cos x,
e
y_{p2}'' - y_{p2} = (-C\sin x - D\cos x) - (C\sin x + D\cos x) = -2C\sin x -2D\cos x.
Igualando a \sin x
-2C = 1,\;-2D = 0 \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac12,\;D = 0.
Logo
y_{p2}(x) = -\tfrac12\sin x.

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} - x - \tfrac12\sin x.

Passo 6

Derivando,
y'(x) = C_1 e^{x} - C_2 e^{-x} - 1 - \tfrac12\cos x.
Em x=0:
y(0)=C_1 + C_2 - 0 - 0 = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 2,
y'(0)=C_1 - C_2 - 1 - \tfrac12 = 3 \quad\Longrightarrow\quad C_1 - C_2 = 3 + \tfrac32 = \tfrac92.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\ C_1 - C_2 = \tfrac92, \end{cases}
temos
C_1 = \tfrac{13}{4},\quad C_2 = -\tfrac{5}{4}.

Resposta

\boxed{ y(x) = \frac{13}{4}e^{x} \;-\;\frac{5}{4}e^{-x}\;-\;x\;-\;\frac12\sin x. }

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