resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(\pi / 2)=0, \quad y(\pi)=-1

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+2y=0
e duas condições de contorno: y(\pi/2)=0 e y(\pi)=-1. Para resolver, vamos:
  1. encontrar a equação característica,
  2. montar a solução geral,
  3. aplicar as condições para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 - 2r + 2 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i.

Passo 3

Como as raízes são 1 \pm i, a solução geral é
y(x) = e^{x}\bigl(C\cos x + D\sin x\bigr),
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Aplicando as condições de contorno:
  1. Em x=\pi/2:
y(\tfrac\pi2)=e^{\pi/2}\bigl(C\cos(\tfrac\pi2)+D\sin(\tfrac\pi2)\bigr) =e^{\pi/2}(0\cdot C + 1\cdot D)=e^{\pi/2}D=0 \quad\Longrightarrow\quad D=0.
  1. Em x=\pi:
y(\pi)=e^{\pi}\bigl(C\cos\pi + D\sin\pi\bigr) =e^{\pi}(C\cdot(-1)+0)= -C\,e^{\pi}=-1 \quad\Longrightarrow\quad C=e^{-\pi}.
Agora temos C=e^{-\pi} e D=0.

Resposta

y(x)=e^{x}\bigl(e^{-\pi}\cos x + 0\cdot\sin x\bigr) =e^{\,x-\pi}\cos x.

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