Sabendo que
e
formam um conjunto fundamental de soluções para
em
, encontre a solução geral para:
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de Bessel não homogênea de ordem
em
, cuja forma é
As soluções da homogênea são dadas:
e
. O objetivo é encontrar a solução geral da equação completa (homogênea + particular).
Passo 2
Vamos colocar a equação em forma padrão dividindo tudo por
:
Aqui identificamos
$$P(x)=\frac1x,\quad Q(x)=1 - \frac1{4x^2},\quad g(x)=x^{-1/2}.
$$
Passo 3
Precisamos do wronskiano das soluções homogêneas:
Calculando as derivadas e simplificando chega-se a
o que também confere com a relação geral
.
Passo 4
Aplicamos variação de parâmetros, cujas fórmulas são
Substituindo
:
Integrando (descartando constantes que entram na homogênea):
Passo 5
A solução particular fica
Portanto, juntando homogênea e particular, a solução geral é