Sabendo que y1=x^-1 / 2 cos (x) e y2=x^-1 / 2 sen(x) formam um conjunto fundamental de soluções para x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-14) y=0 em (0, infty), encontre a solução geral para:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-14) y=x^3 / 2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Bessel não homogênea de ordem 1/2 em (0,infty), cuja forma é
x^2 y'' + x y' + l(x^2 - tfrac14r)y = x^3/2
As soluções da homogênea são dadas: y1 = x^-1/2cos x e y2 = x^-1/2sen(x). O objetivo é encontrar a solução geral da equação completa (homogênea + particular).

Passo 2

Vamos colocar a equação em forma padrão dividindo tudo por x^2:
y'' + 1x,y' + l(1 - 14x^2r)y = x^3/2x^2 = x^-1/2
Aqui identificamos
$$P(x)=\frac1x,\quad Q(x)=1 - \frac1{4x^2},\quad g(x)=x^{-1/2}.
$$

Passo 3

Precisamos do wronskiano das soluções homogêneas:
W=y1 y2' - y1' y2
Calculando as derivadas e simplificando chega-se a
W = 1x,
o que também confere com a relação geral W'+P,W=0.

Passo 4

Aplicamos variação de parâmetros, cujas fórmulas são
u1' = -g(x),y2W, nu2' = g(x),y1W
Substituindo g,y1,y2,W:
nu1' = -sin x, nu2' = cos x
Integrando (descartando constantes que entram na homogênea):
nu1 = cos x, nu2 = sin x

Passo 5

A solução particular fica
yp = nu1 y1 + nu2 y2 = x^-1/2(cos^2 x + sin^2 x) = x^-1/2
Portanto, juntando homogênea e particular, a solução geral é

Passo 6

Resposta

y(x) = C1,x^-1/2cos x + C2,x^-1/2sen(x) + x^-1/2.

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