Resolva a equação diferencial dada.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''+x\,y'+4y=0.
Este é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy, que tem coeficientes polinomiais em potências de x.

Passo 2

Para equações de Euler–Cauchy do tipo
x^{2}y''+a\,x\,y'+b\,y=0
sugerimos a mudança de forma y=x^{m}. Nesse método, substituímos y=x^{m} e suas derivadas na equação original.

Passo 3

Calculando as derivadas de y=x^{m},
y'=m\,x^{m-1}, \qquad y''=m(m-1)\,x^{m-2},
e substituindo em x^{2}y''+x\,y'+4y=0, obtemos
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] + x\bigl[mx^{m-1}\bigr] + 4\,x^{m} =0.
Fatorando x^{m} (não nulo para x\neq0) temos a equação característica.

Passo 4

A equação característica é
m(m-1)+m+4=0 \;\Longrightarrow\; m^{2}+4=0,
cuja solução é
m=\pm 2\,i.

Passo 5

Para raízes complexas m=\alpha\pm i\beta da forma de Euler–Cauchy, a solução geral é
y(x) = x^{\alpha} \bigl[ C_{1}\cos\bigl(\beta\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\beta\ln x\bigr) \bigr].
Aqui \alpha=0 e \beta=2, logo
y(x) = C_{1}\cos\bigl(2\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(2\ln x\bigr).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\bigl(2\ln x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(2\ln x\bigr),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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