Resolva cada equação diferencial pela variaçẵo dos parâmetros. y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t} \ln t
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=e^{-t}\ln t.
Informações dadas e o que se pede:
Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O termo não-homogêneo (lado direito) é e^{-t}\ln t, que só faz sentido para t>0 por causa de \ln t.
A tarefa é encontrar a solução geral y(t) usando o método da variação dos parâmetros (ou seja, obter uma solução particular e somá-la à solução geral da homogênea).
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0.
Escrevemos o polinômio característico:
r^{2}+2r+1=0.
Resolvendo,
r=-1
é raiz dupla (pois r^{2}+2r+1=(r+1)^{2}). Para raiz dupla, uma base de soluções fundamentais é
y_{1}(t)=e^{-t},\qquad y_{2}(t)=t e^{-t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}t e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos variação dos parâmetros para obter uma solução particular y_{p}(t). A fórmula prática é