Resolva cada equação, ou seja, encontre as soluções reais.
\left|\frac{2 x-1}{x+1}\right|=3

Passo 1

O enunciado pede: resolver na reta dos números reais a equação \left|\dfrac{2x-1}{x+1}\right|=3.
Informações e restrições fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é \left|\dfrac{2x-1}{x+1}\right|.
  • A igualdade é com o número 3.
  • Importante: não é permitido x=-1 porque isso anula o denominador (x+1). Logo o domínio é todos os reais exceto -1.
  • Objetivo: encontrar todos os x\in\mathbb{R}, x\neq-1, que satisfazem a equação.

Passo 2

Lembrete didático sobre valor absoluto (mini-aula rápida): para qualquer expressão \,A, a equação |A|=3 significa que A está a uma distância 3 de zero, ou seja, A pode ser 3 ou -3. Em forma algébrica:
|A|=3 \quad\Longleftrightarrow\quad A=3 \quad\text{ou}\quad A=-3.
Aqui podemos aplicar isso com A=\dfrac{2x-1}{x+1}.

Passo 3

Aplicando a propriedade do valor absoluto ao nosso problema obtemos duas equações (sempre lembrando que x\neq-1):
\frac{2x-1}{x+1}=3 \qquad\text{ou}\qquad \frac{2x-1}{x+1}=-3.

Passo 4

Resolver a primeira equação
\frac{2x-1}{x+1}=3.
Como x\neq-1, podemos multiplicar ambos os lados por x+1 sem criar indeterminação:
2x-1 = 3(x+1).
Expandindo o lado direito:
2x-1 = 3x+3.
Isolando x: subtrai-se 2x dos dois lados,
-1 = x+3,
e então subtrai-se 3,
x = -4.
Verificação rápida (sempre boa prática): substituir x=-4 na expressão original:
\frac{2(-4)-1}{-4+1}=\frac{-8-1}{-3}=\frac{-9}{-3}=3,
e |3|=3. Portanto x=-4 é solução válida.

Passo 5

Resolver a segunda equação
\frac{2x-1}{x+1}=-3.
Multiplicando por x+1 (novamente x\neq-1):
2x-1 = -3(x+1).
Expandindo:
2x-1 = -3x-3.
Isolando x: soma-se 3x aos dois lados,
5x-1 = -3,
ou somando 1,
5x = -2,
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x = -\frac{2}{5}.
Verificação rápida: substituir x=-\dfrac{2}{5},
\frac{2\left(-\tfrac{2}{5}\right)-1}{-\tfrac{2}{5}+1}=\frac{-\tfrac{4}{5}-1}{\tfrac{3}{5}}=\frac{-\tfrac{9}{5}}{\tfrac{3}{5}}=-3,
e |-3|=3. Portanto x=-\dfrac{2}{5} é solução válida.

Passo 6

Resumo e verificação de domínio: as soluções encontradas são x=-4 e x=-\dfrac{2}{5}. Nenhuma delas é x=-1, então ambas pertencem ao domínio e foram verificadas na equação original.

Resposta

-4
-\dfrac{2}{5}

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