Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada.
Resp.
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Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para gente encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências dada:
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge. Também vamos precisar entender um pouco sobre fatoriais e manipulação de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Raio de Convergência. Ele nos diz até onde, em termos de valor absoluto de $ x $, a série converge. Se o raio for infinito, a série converge para todo $ x $.
Agora, para aplicar o Teste da Razão, vamos considerar o limite:
onde
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando os termos:
Passo 4
Simplificando ainda mais:
Sabemos que $ (2n+5)! = (2n+5)(2n+4)(2n+3)! $ e $ 2(n+1)! = 2(n+1)(n!) $. Substituindo isso na expressão:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, calculamos o limite $ L $ quando $ n $ tende ao infinito:
Dividindo todos os termos por $ n^2 $:
Quando $ n $ tende ao infinito, os termos com $ \frac{1}{n} $ vão para zero:
Passo 6
Pelo Teste da Razão, a série converge se $ L < 1 $:
Então, o Raio de Convergência $ R_c = 2 $.
Passo 7
Entretanto, precisamos verificar os pontos de fronteira $ x = -2 $ e $ x = 2 $ para determinar o Intervalo de Convergência.
Para $ x = 2 $:
Analisando o comportamento dos termos, percebemos que a série converge.
Para $ x = -2 $:
Aqui, similarmente, a série também converge.
Então, o intervalo de convergência inclui ambos os pontos:
Resposta
Intervalo de convergência $ I_{c} = [-2, 2] $, \quad Raio de convergência $ R_{\mathrm{c}} = 2 $.