Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada.
sumn=0^+infty (x+3)^n2^n Resp. Ic=(-5,-1), Rc=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=0^+infty (x+3)^n2^n
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de (x - a), onde a é o centro da série. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o valor de $ |x - a| $ para o qual a série converge. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série e verificar quando esse limite é menor que 1.
Matematicamente, para uma série |x - a| , calculamos:
sum an
Se L = limn to infty | an+1an | , a série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão à série que temos:
an = (x+3)^n2^n
Calculando a razão entre termos consecutivos:
| an+1an | = | (x+3)^n+1/2^n+1(x+3)^n/2^n | = | (x+3)2 |

Passo 4

Agora, aplicamos o limite desse valor conforme n vai para o infinito:
L = | (x+3)2 |
Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
| (x+3)2 | < 1

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade para encontrar os valores de x:
| (x+3)2 | < 1 Rightarrow |x + 3| < 2
Isso significa que x + 3 deve estar entre -2 e 2:
-2 < x + 3 < 2
Subtraindo 3 de todas as partes:
-5 < x < -1

Passo 6

O intervalo de convergência é (-5, -1) e o raio de convergência, que é a metade do comprimento do intervalo, é 2.

Resposta

Intervalo de convergência: (-5, -1), Raio de convergência: 2.

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