Resolva cada uma das equações diferenciais abaixo, encontrando um fator integrante que é uma função de uma única variável.
  1. 2 x y d x+(y^2-x^2) d y=0
  2. (y ln y+y e^x) d x+(x+y cos y) d y=0
  3. 2 x d y+x^2 y d y=0

Passo 1

A primeira equação é
2x,y,dx + l(y^2 - x^2r),dy = 0
Aqui reconhecemos uma equação diferencial na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. O conteúdo da matéria é “equações exatas e fator integrante”. Vamos verificar a exatidão e, se não for exata, buscar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Para a equação
M(x,y)=2x,y, N(x,y)=y^2 - x^2
calculemos
partial Mpartial y=2x, partial Npartial x=-2x
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata. Testamos fator integrante mu(y) via
partial N/partial x - partial M/partial yM =-2x-2x2x,y=-4x2xy=-2y,
que depende só de y. Logo
dlnmudy=-2y Longrightarrow mu(y)=e^integral -2y,dy=y^-2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(y)=y^-2, obtemos
2x,yy^2,dx+y^2-x^2y^2,dy ;=; 2xy,dx+l(1-x^2y^2r),dy=0,
que agora é exata. Chamando os novos M^*=tfrac2xy e N^*=1-tfracx^2y^2, queremos psi tal que
psix=M^*=2xy Longrightarrow psi(x,y)=integral2xy,dx=x^2y+h(y)
Diferenciando em y:
psiy=-x^2y^2+h'(y)=N^* =1-x^2y^2 Longrightarrow h'(y)=1Longrightarrow h(y)=y
Logo a solução implícita é
psi(x,y)=x^2y+y=C Longrightarrow y+x^2y=C1

Passo 4

A segunda equação é
l(yln y + y e^xr),dx + l(x + ycos yr),dy=0,
com M(x,y)=yln y +ye^x e N(x,y)=x+ycos y. De novo, testamos exatidão e depois fator integrante.

Passo 5

Calculamos
My=ln y+1+e^x, Nx=1,
não iguais. Testando mu(y):
Nx-MyM =1-(ln y+1+e^x)y(ln y+e^x) =-ln y+e^xy(ln y+e^x) =-1y,
depende só de y. Logo
mu(y)=e^integral -1ydy=y^-1

Passo 6

Multiplicando por 1/y, a equação vira
(ln y + e^x),dx +l(xy+cos yr),dy=0,
que é exata pois
partialx(ln y+e^x)=e^xcdot0+e^xcdot1= e^x? Na verdade
(ln y+e^x)y=1y, l(tfracxy+cos yr)x=1y
Encontremos psi com
psix=ln y+e^x Longrightarrow psi(x,y)=xln y + e^x + h(y)
Então
psiy=xy+h'(y) =xy+cos y Longrightarrow h'(y)=cos y Longrightarrow h(y)=sin y
A solução implícita é
xln y + e^x + sin y = C2

Passo 7

Para a terceira equação interpretamos como
x^2,y,dx + 2x,dy =0,
isto é M(x,y)=x^2y, N(x,y)=2x. Repetimos o teste de exatidão e, se preciso, buscamos mu(x).

Passo 8

Verificamos
My=x^2, Nx=2,
não iguais. Tentamos mu(x) com
My - NxN =x^2-22x =x2-1x,
função só de x. Então
dlnmudx =x2-1x Longrightarrow lnmu=x^24-ln x Longrightarrow mu(x)=e^x^2/4x

Passo 9

Multiplicando por mu(x), obtemos
underbracex^2ye^x^2/4x=;x,y,e^x^2/4,dx +underbrace2xe^x^2/4x=;2,e^x^2/4,dy=0,
que é exata. Seja phi tal que
phix=x,y,e^x^2/4 Longrightarrow phi(x,y) =integral x,y,e^x^2/4dx =2y,e^x^2/4+h(y)
Então
phiy=2,e^x^2/4+h'(y) =2,e^x^2/4 Longrightarrow h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=const
A solução implícita fica
2y,e^x^2/4=C3 Longrightarrow y,e^x^2/4=C4

Resposta

  1. Fator integrante mu(y)=y^-2. Solução:
y+x^2y=C1
  1. Fator integrante mu(y)=y^-1. Solução:
xln y + e^x + sin y = C2
  1. Fator integrante mu(x)=dfrace^x^2/4x. Solução:
y,e^x^2/4=C4

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