Resolva cada uma das equações diferenciais abaixo, encontrando um fator integrante que é uma função de uma única variável.
Passo 1
A primeira equação é
Aqui reconhecemos uma equação diferencial na forma . O conteúdo da matéria é “equações exatas e fator integrante”. Vamos verificar a exatidão e, se não for exata, buscar um fator integrante que dependa só de ou só de .
Passo 2
Para a equação
calculemos
Como , não é exata. Testamos fator integrante via
que depende só de . Logo
Passo 3
Multiplicando a equação original por , obtemos
que agora é exata. Chamando os novos e , queremos tal que
Diferenciando em :
Logo a solução implícita é
Passo 4
A segunda equação é
com e . De novo, testamos exatidão e depois fator integrante.
Passo 5
Calculamos
não iguais. Testando :
depende só de . Logo
Passo 6
Multiplicando por , a equação vira
que é exata pois ? Na verdade
Encontremos com
Então
A solução implícita é
Passo 7
Para a terceira equação interpretamos como
isto é , . Repetimos o teste de exatidão e, se preciso, buscamos .