Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
A equação diferencial separa se dividirmos por e multiplicarmos por . Integramos a equação de separação de para e encontramos
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c). d y / d x=raiz1+sen x(1+y^2), y(0)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx = raiz1+sin x,l(1+y^2r), y(0)=1,
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
11+y^2,dydx = raiz1+sin x,
de onde
integral dy1+y^2 ;=;integral raiz1+sin x,dx
Passo 3
Calcule a integral à esquerda e aplique a condição inicial depois. Para a esquerda temos
integral dy1+y^2 = arctan y + C1
Para a direita, use a identidade de meia-ângulo
1+sin t = l(sintfrac t2 + costfrac t2r)^2,
logo em um intervalo onde sintfrac t2+costfrac t2>=0,
raiz1+sin t = sintfrac t2 + costfrac t2
Então
integral raiz1+sin t,dt = integral l(sintfrac t2 + costfrac t2r)dt = -2costfrac t2 + 2sintfrac t2 + C2