Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como integral e^x^2 d x não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
d yd x=e^x^2 y^2, y(2)=1
A equação diferencial separa se dividirmos por y^2 e multiplicarmos por d x. Integramos a equação de separação de x=2 para x=x1 e encontramos
integralx=2^x=x1 e^x^2 d x & =integralx=2^x=x1 d yy^2 & =-1y|x=2 ^x=x1 & =-1y(x1)+1y(2)
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c).
d y / d x=raiz1+sen x(1+y^2), y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx = raiz1+sin x,l(1+y^2r), y(0)=1,
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
11+y^2,dydx = raiz1+sin x,
de onde
integral dy1+y^2 ;=;integral raiz1+sin x,dx

Passo 3

Calcule a integral à esquerda e aplique a condição inicial depois. Para a esquerda temos
integral dy1+y^2 = arctan y + C1
Para a direita, use a identidade de meia-ângulo
1+sin t = l(sintfrac t2 + costfrac t2r)^2,
logo em um intervalo onde sintfrac t2+costfrac t2>=0,
raiz1+sin t = sintfrac t2 + costfrac t2
Então
integral raiz1+sin t,dt = integral l(sintfrac t2 + costfrac t2r)dt = -2costfrac t2 + 2sintfrac t2 + C2
Fazendo a integral de 0 a x,
integral0^xraiz1+sin t,dt =l[-2costfrac t2+2sintfrac t2r]0^x =2l(sintfrac x2 - costfrac x2 +1r)

Passo 4

Igualando as integrais definidas de 0 a x e de y(0)=1 a y(x), obtemos
l[arctan yr]1^y(x) =integral0^xraiz1+sin t,dt Longrightarrow arctan y(x)-arctan(1) =2l(sintfrac x2-costfrac x2+1r)
Como arctan(1)=pi/4,
arctan y(x) =pi4 ;+;2l(sintfrac x2-costfrac x2+1r)
Aplicando a tangente em ambos os lados,
y(x) =tan!l(tfracpi4 +2l(sintfrac x2-costfrac x2+1r)r)

Resposta

y(x) =tan!l(tfracpi4 +2l(sintfrac x2-costfrac x2+1r)r)

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