Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
x-2-x^2+x+6>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-2-x^2+x+6 > 0
ou seja, encontrar os valores de x que tornam o quociente positivo. Vamos precisar achar as raízes do numerador e do denominador, estudar o sinal de cada um em intervalos determinados por essas raízes, e então combinar os sinais.

Passo 2

Determinamos as raízes de numerador e denominador:
  • Numerador: x-2=0 x=2
  • Denominador: -x^2+x+6=0 Long<=ftrightarrow x^2-x-6=0 Longrightarrow x=1pmraiz1+242=1pm52, ou seja x=-2, x=3
Portanto o domínio da inequação é Rsetminus-2,3.

Passo 3

Para estudar o sinal, fatoramos o denominador:
-x^2+x+6 = -(x-3)(x+2)
Montamos a análise de sinais em cada intervalo determinado pelos pontos -2, 2 e 3:
Intervalo x-2 -(x-3)(x+2) quociente
(-infty,-2) - - +
(-2,2) - + -
(2,3) + + +
(3,infty) + - -
Buscamos onde o quociente é positivo, descartando pontos onde numerador ou denominador se anulam (pois a inequação é estrita).

Passo 4

Das quatro faixas acima, os intervalos que satisfazem
x-2-x^2+x+6>0
são
(-infty,-2)e(2,3)

Resposta

(-infty,-2),cup,(2,3)

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