Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
x^2-2 xx^2-1<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-2xx^2-1<0
Isso envolve fatorar numerador e denominador, encontrar pontos críticos (raízes e zeros do denominador) e usar um quadro de sinais para determinar onde a fração é negativa.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador em fatores lineares:
x^2-2x = x(x-2), x^2-1 = (x-1)(x+1)
Logo a inequação fica
x(x-2)(x-1)(x+1)<0,
com domínio xneq pm1.

Passo 3

Identificamos os pontos que fazem numerador ou denominador zero:
x=0,;x=2(numerador), x=1,;x=-1(denominador)
Eles particionam a reta em cinco intervalos:
(-infty,-1), (-1,0), (0,1), (1,2), (2,infty).

Passo 4

Escolhemos um valor-teste em cada intervalo e verificamos o sinal de cada fator:
  • Em (-infty,-1), por exemplo x=-2:
    x>0? não; x-2<0; x-1<0; x+1<0.
    Assim (+),(+)(-),(-)>0.
  • Em (-1,0), por exemplo x=-0.5:
    x<0; x-2<0; x-1<0; x+1>0.
    Assim (+)(-)<0.
  • Em (0,1), por exemplo x=0.5:
    x>0; x-2<0; x-1<0; x+1>0.
    Assim (-)(-)>0.
  • Em (1,2), por exemplo x=1.5:
    x>0; x-2<0; x-1>0; x+1>0.
    Assim (-)(+)<0.
  • Em (2,infty), por exemplo x=3:
    todos os fatores são positivos, logo a fração é >0.

Passo 5

A inequação pede as regiões onde a expressão é negativa. Pelos testes, isso ocorre em
(-1,0)e(1,2)
As raízes do numerador ( x=0,2) não entram pois a desigualdade é estrita, e x=pm1 estão fora do domínio.

Resposta

(-1,0)cup(1,2)

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