Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
|8-2 x^2| <= x+7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
lvert 8 - 2x^2rvert <= x + 7
e expressar o conjunto solução em notação de intervalos. Vamos usar a propriedade
lvert Arvert <= B implica B>=0 e -B<= A<= B.

Passo 2

Primeiro garantimos que o lado direito seja não negativo:
x+7>=0 Longrightarrow x>= -7
Esse é o nosso domínio de trabalho.

Passo 3

Aplicando - (x+7)<= 8-2x^2<= x+7, obtemos duas desigualdades simultâneas:
  1. 8-2x^2<= x+7
  2. 8-2x^2>= -,(x+7).

Passo 4

Resolvendo 8-2x^2<= x+7:
8-2x^2<= x+7 Long<=ftrightarrow -2x^2 - x +1 <= 0 Long<=ftrightarrow 2x^2 + x -1 >= 0
O discriminante é De<a=1+8=9 e as raízes são
x=-1pm34;Longrightarrow;x=-1,;12
Como a parábola 2x^2+x-1 abre para cima, temos
2x^2+x-1>=0Long<=ftrightarrow xin(-infty,-1]cupl[tfrac12,inftyr)
Intersectando com x>=-7 fica
xin[-7,-1];cup;l[tfrac12,inftyr)

Passo 5

Resolvendo 8-2x^2>= -x-7:
8-2x^2 + x +7>=0 Long<=ftrightarrow -2x^2 + x +15>=0 Long<=ftrightarrow 2x^2 - x -15<=0
Aqui De<a=1+120=121 e as raízes são
x=1pm114;Longrightarrow;x=-52,;3
Como 2x^2 -x -15 abre para cima,
2x^2 - x -15<=0Long<=ftrightarrow xinl[-tfrac52,3r]

Passo 6

A solução da inequação original é a interseção de
[-7,-1]cupl[tfrac12,inftyr) com l[-tfrac52,3r]
Fazendo a interseção:
[-7,-1]capl[-tfrac52,3r]=l[-tfrac52,-1r], l[tfrac12,inftyr)capl[-tfrac52,3r]=l[tfrac12,3r]

Resposta

l[-tfrac52,-1r];cup;l[tfrac12,3r]

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