Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
|x-1|-|x-2|>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação lvert x-1rvert - lvert x-2rvert > x. Vamos usar o conceito de valor absoluto e analisar cada caso em que as expressões internas mudam de sinal.
Os pontos de quebra são x=1 e x=2. Assim, dividimos a reta real em três intervalos: (-infty,1), [1,2) e [2,infty). Em cada um substituímos lvert x-1rvert e lvert x-2rvert pelas expressões sem módulo.

Passo 2

Para x<1 temos lvert x-1rvert=1-x e lvert x-2rvert=2-x. A inequação fica
(1-x)-(2-x)>x
que simplifica para
1 - x - 2 + x > ximplies -1 > ximplies x < -1
Como também exige x<1, a solução parcial é
(-infty,-1).

Passo 3

Para 1 <= x < 2 temos lvert x-1rvert = x-1 e lvert x-2rvert = 2-x. A inequação torna-se
(x-1)-(2-x)>x
ou
x - 1 - 2 + x > ximplies 2x - 3 > ximplies x > 3
Não há x que satisfaça simultaneamente x>3 e x<2, logo não há solução neste intervalo.

Passo 4

Para x>=2 temos lvert x-1rvert = x-1 e lvert x-2rvert = x-2. A inequação passa a ser
(x-1)-(x-2)>x
isto é
x - 1 - x + 2 > ximplies 1 > ximplies x < 1
Não há x que satisfaça ao mesmo tempo x<1 e x>=2, então nenhum x neste intervalo resolve a inequação.

Passo 5

Unindo todas as soluções parciais, o único intervalo onde a inequação é verdadeira é (-infty,-1).

Resposta

(-infty,-1)

Exercícios relacionados