Resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
com as condições iniciais e
.
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos montar a equação característica, obter a solução geral e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.
com as condições iniciais
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos montar a equação característica, obter a solução geral e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
A equação característica associa à EDO o polinômio
Passo 3
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara, achamos as raízes
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Calculamos a derivada para depois aplicar a condição em
:
Passo 6
Aplicando
em
e
, obtemos o sistema
Passo 7
Somando as duas equações, eliminamos
:
Passo 8
Substituindo
em
, vem
Passo 9
Finalmente, inserindo
e
na solução geral, obtemos