Resolva o problema de valor inicial dado.
d^2 yd t^2-4 d yd t-5 y=0, y(1)=0, y^prime(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
dfracd^2ydt^2 - 4dfracdydt - 5y = 0
com as condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=2.
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos montar a equação característica, obter a solução geral e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

A equação característica associa à EDO o polinômio
r^2 - 4r - 5 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 4r - 5 = 0
pela fórmula de Bhaskara, achamos as raízes
r1 = 5, r2 = -1

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^5t + C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 5

Calculamos a derivada para depois aplicar a condição em y':
y'(t) = 5C1 e^5t - C2 e^-t

Passo 6

Aplicando t=1 em y(t) e y'(t), obtemos o sistema
C1 e^5 + C2 e^-1 = 0,
5C1 e^5 - C2 e^-1 = 2

Passo 7

Somando as duas equações, eliminamos C2:
(C1 e^5 + C2 e^-1) + (5C1 e^5 - C2 e^-1) = 0 + 2 Longrightarrow 6C1 e^5 = 2 Longrightarrow C1 = 26e^5 = 13e^5

Passo 8

Substituindo C1 em C1 e^5 + C2 e^-1=0, vem
13e^5,e^5 + C2 e^-1 = 0 Longrightarrow 13 + C2 e^-1 = 0 Longrightarrow C2 = -e3

Passo 9

Finalmente, inserindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(t) = 13e^5e^5t - e3e^-t = 13e^5(t-1) - 13e^1-t

Resposta

y(t) = 13e^5(t-1) - 13e^1-t

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