Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação |x^2-16|>=4|x^2-1|
e expressar o conjunto-solução em notação de intervalos.
O conteúdo principal aqui é manipular valores absolutos e transformar a inequação em uma desigualdade polinomial, usando a substituição t=x^2.
Passo 2
Fazemos a substituição
t = x^2, t>=0,
de modo que a inequação vira
l|,t-16r|>=4l|,t-1r|
Passo 3
Como ambos os lados são não negativos, elevamos ao quadrado para eliminar os valores absolutos:
(t-16)^2>=16,(t-1)^2
Passo 4
Expandindo e simplificando:
t^2-32t+256 >= 16t^2-32t+16
-15t^2+240 >= 0
15t^2<=240
t^2<=16
Isso equivale a -4<= t<=4. Como t>=0, concluímos
0<= t<=4
Passo 5
Voltando a x, temos
x^2<=4 Longrightarrow -2<= x<=2
Passo 6
Verificamos que em x=pm2 ocorre igualdade e em x=pm1 (onde t=1) a desigualdade também vale, pois l|1-16r|>=0. Logo não há exclusões adicionais.