Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
d rd t=-2 t r, r(0)=ro

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
drdt = -2,t,r, r(0)=r0,
que é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução particular.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a agrupar r de um lado e t do outro:
1r,drdt = -2,t Longrightarrow drr = -2,t,dt

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral 1r,dr = integral -2,t,dt
que resulta em
lnlvert rrvert = -,t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando para resolver em função de r, obtemos
r(t) = e^-t^2+C = e^C,e^-t^2
Definimos A = e^C, de modo que
r(t) = A,e^-t^2

Passo 5

Aplicamos a condição inicial r(0)=r0:
r(0) = A,e^0 = A = r0
Portanto
r(t) = r0,e^-t^2

Resposta

r(t) = r0,e^-t^2

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