Resolva cada inequação abaixo e represente seu conjunto solução no círculo trigonométrico:
sin x<12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
sin x < tfrac12
e representar o conjunto-solução no círculo trigonométrico.
Conteúdo: inequações trigonométricas.
Para resolver, vamos (i) encontrar as soluções de sin x = tfrac12 num período base [0,2pi), (ii) analisar o sinal de sin x em cada intervalo, (iii) estender por periodicidade, e (iv) descrever graficamente no círculo.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos onde sin x = tfrac12 em [0,2pi).
Em trigonometria sabemos que
sin x = tfrac12
ocorre quando o ângulo principal vale
x = pi6 ou x = 5pi6

Passo 3

Agora dividimos [0,2pi) em três subintervalos usando tfracpi6 e tfrac5pi6, e escolhemos pontos de teste para ver onde sin x<tfrac12:
  1. Em l(0,tfracpi6r), por exemplo x=tfracpi12, temos sin(tfracpi12)approx0,26<0,5. Logo sin x<tfrac12 ali.
  2. Em l(tfracpi6,tfrac5pi6r), por exemplo x=tfracpi2, temos sin(tfracpi2)=1>tfrac12. Lá não vale.
  3. Em l(tfrac5pi6,2pir), por exemplo x=pi, temos sin(pi)=0<tfrac12. Lá vale.
Como a inequação é estrita, excluímos os pontos onde sin x=tfrac12. Concluímos no período base:
xinl[0,tfracpi6r);cup;l(tfrac5pi6,2pir)

Passo 4

A função sin x tem período 2pi. Para pegar todas as soluções, somamos 2pi k, kin Z. Assim o conjunto-solução geral é
cupkin Z l(,[,2pi k,tfracpi6+2pi k);cup;(tfrac5pi6+2pi k,,2pi+2pi k)r)

Passo 5

No círculo trigonométrico isso corresponde a todos os pontos cuja ordenada y=sin x fica abaixo de y=tfrac12. Graficamente é a circunferência inteira exceto o pequeno arco superior entre tfracpi6 e tfrac5pi6.

Resposta

xmidsin x<tfrac12 =cupkin Z l(,[,2pi k,tfracpi6+2pi k);cup;(tfrac5pi6+2pi k,,2pi+2pi k)r)
No círculo trigonométrico, é todo o contorno exceto o arco entre tfracpi6 e tfrac5pi6.

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